[obm-l] limites de sequencias de conjuntos

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Achei estes problemas interessantes. Sugiro-os aos colegas.

Sendo A_n uma sequencia de subconjuntos de um conjunto A, definimos como
limite superior de A_n, limsup A_n, ao conjunto formado pelos elementos de A
que peretencam a uma infinidade de conjuntos A_n; definimos como limite
inferior de A_n, lim inf A_n, ao conjunto formado pelos elementos de A que,
com possível excecao de um numero finito de conjuntos,  pertencam a todos os
conjuntos A_n. 

1) Mostre que 

1.1  lim sup A_n = Interseccao (n =1, oo) (Uniao(m=n, oo) A_m)
1.2  lim inf  A_n =  Uniao(n =1, oo) (Interseccao(m=n, oo) A_m)
1.3 0 <= lim inf A_n <= lim sup A_n <= A    Aqui, 0 significa o conjunto
vazio e <= significa esta propriamente contido ou eh igual. 
1.4  Se A_n for uma sequencia monotonicamente crescente, no sentido de que
A_n <= A_(n+1) para todo n, entao   lim inf A_n = lim sup A_n = Uniao (n=1,
oo) A_n
1.5  Se A_n for uma sequencia monotonicamente decrescente, no sentido de que
A_(n+1>) <= A_n para todo n, entao   lim inf A_n = lim sup A_n = Interseccao
(n=1, oo) A_n


2) Em analogia com sequencias de numeros reais, dizemos que, se  lim inf A_n
= lim sup A_n = L,  entao L = lim A_n (limite de A_n) e A_n converge para L.

2.1 De exemplo de uma sequencia de conjuntos tal que lim inf A_n = 0 (vazio)
e lim sup A_n = A (A um conjunto qualquer)
2.2 De exemplo de uma sequencia A_n que nao seja monotonica mas seja
convergente.

Artur


 

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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