[obm-l] Convergência/divergência de uma série - opinioes

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Olá a todos

Seja a_n, n=1,2,3.... uma sequencia de reais nao negativos com a_1>0 e seja
s_n a sequencia das somas parciais de a_n. Foi-me pedido que analisasse a
convergencia/divergencia de Soma(n>=1) (1/s_n).

Inicialmente verificamos que, se s_n convergir para um limite s, entao s>=
a_1 >0 e lim (1/s_n)  = 1/s >0, de modo que  Soma(n>=1) (1/s_n). diverge.

Se s_n divergir, entao s_n => oo quando n=> oo e .lim (1/s_n)  = 0, de modo
que o argumento anterior agora nao leva a nenhuma conclusao. Aqui eu nao
consegui uma conclusao de fato geral, cito duas a que cheguei e que me
pareceram interessantes:

(1) -  Se existir algum k tal que s_n <= n para n >= k, entao (1/s_n) >=1/ n
para n>=k e a comparacao com a serie harmonica nos mostra que  Soma(n>=1)
(1/s_n) diverge.
Isto nos mostra, por exemplo, que se a_n =1/n, entao Soma(n>=1) (1/s_n)
diverge, pois 1...+ 1/n <= n.
Nesta linha dah para fazer uma porcao de comparacoes, por exemplo,  se
existir k tal que a_n >= n^2 para n>= k, entao Soma(n>=1) (1/s_n) converge. 

(2) - Este agora me parece mais interessante. Sabemos que a serie Soma(n>=1)
(a_n)/(s_n) converge se, e somente se, s_n converge. Como, por hipotese, s_n
diverge, entao  Soma(n>=1) (a_n)/(s_n) diverge. Se existir um k tal que a_n
<=1 para n >=k, entao para n >= k temos que 1/(s_n) >= (a_n)/(s_n) e, por
comparacao, concluimos que Soma(n>=1) (1/s_n) diverge. Eh uma condicao
suficiente, mas nao necessaria, para divergencia. Por exemplo, se a_n = 2
para todo n, entao esta condicao nao eh verificada mas  Soma(n>=1) (1/s_n)
diverge.

A condicao (2), supondo-se divergencia de s_n, implica que lim sup a_n <=1.
Por outro lado, lim sup a_n < 1 implica 2 e, portanto, divergencia de
Soma(n>=1) (1/s_n). Mas lim sup a_n = 1 nao implica (2) e acho que aih nada
se conclui. 

Considerando-se que Soma(n>=1) (1/s_n) sempre diverge se s_n convergir,
concluimos que se (2) se verificar ou se apenas lim sup a_n <1 se verficar,
entao  Soma(n>=1) (1/s_n) eh divergente.  

Corolario: se s_n divergir e lim a_n =0, entao  Soma(n>=1) (1/s_n) diverge.


Serah que existe alguma conclusao interessante? No caso em que s_n diverge,
a pessoa a quem mostrei isto nao julgou minhas conclusoes interessantes (mas
tambem nao apresentou nada melhor).

Artur


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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