RES: [obm-l] Desigualdade com complexos

["Pedro Antonio Santoro Salomao" <ssalomao@xxxxxxxxxx>]

|e^z - 1| = |z + z^2/2 + z^3/3! + ....|
e^|z| - 1 = |z| + |z|^2/2 + |z|^3/3! + ...

Truncando-se as somas, usando desigualdade triangular e tomando o limite,
obtem-se o resultado. Poderia omitir o "-1" nesse caso?

Um abraço. Pedro.

-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] Em nome
de Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira
Enviada em: Monday, July 25, 2005 12:47 PM
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Desigualdade com complexos

   Caro Danilo,
   Fazendo z=a+bi, queremos provar que 
(e^a.cosb-1)^2+(e^a.senb)^2<=(e^((a^2+b^2)^(1/2)-1)^2, o que equivale a
e^(2a)-2e^a.cosb<=e^(2(a^2+b^2)^(1/2))-2e^((a^2+b^2)^(1/2)).
Vamos mostrar que 0<=x<=y implica e^(2y)-2e^y-(e^(2x)-2e^x>=e^x(y^2-x^2).
Escrevendo y=x+h, isso equivale a e^(x+2h)-2e^h-e^x+2>=h^2+2hx (apss dividir
por e^x). Isso pode ser escrito como e^x(e^h-1)(e^h+1)-2(e^h-1)>=h(h+2x), ou
seja, (e^h-1)(e^(x+h)+e^x-2)>=h(h+2x), mas e^h-1>=h,e^x-1>=x e 
e^(x+h)-1>=x+h, donde e^(x+h)+e^x-2>=2x+h e (e^h-1)(e^(x+h)+e^x-2)>=h(h+2x).
Agora, usamos isso para y=(a^2+b^2)^(1/2) e x=a, obtendo
e^(2(a^2+b^2)^(1/2))-2e^((a^2+b^2)^(1/2))-(e^(2a)-2e^a)>=e^a.b^2. Queremos
provar que o lado esquerdo e' >=2e^a.(1-cosb), e logo (dividindo por e^a)
basta mostrar que b^2>=2(1-cosb), mas 1-cosb=2(sen(b/2))^2<=2.(b/2)^2=b^2/2,
donde b^2>=2(1-cosb), cqd.
   Abragos,
             Gugu  

>
> 
>Pessoal , alguem sabe fazer essa ?
>prove que para todo numero complexo z , vale
>     |e^z-1| menor ou igual a  e^|z|-1
>
>   Abs.
>
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Instrugues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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