Re: [obm-l] Segunda prova da IMO - Problema 4

[Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira <gugu@xxxxxxx>]

   Oi pessoal,
   Segue solução do problema 4 após a mensagem do Shine. Creio que isso
completa as minhas soluções da IMO. Comentários, dúvidas, críticas, etc 
serão muito bem vindos.
   Abraços,
            Gugu

>
>Oi gente, lá vai o segundo dia da IMO.
>
>Como a primeira prova de ontem, eu mesmo traduzi
>agora.
>
>Ainda não pensei nos problemas de hoje, mas eles
>parecem ser bem legais!
>
>Os de ontem foram bem legais também. No começo, achei
>que os problemas eram difíceis porque nem tinha muita
>idéia de como resolver, mas depois que parei para
>pensar com mais calma consegui resolver dois problemas
>(1 e 2).
>
>4. Determine todos os inteiros positivos relativamente
>primos com todos os termos da seqüência infinita a_n =
>2^n + 3^n + 6^n - 1, n >= 1.
>
>5. Seja ABCD um quadrilátero convexo e fixado com BC =
>DA e BC não paralelo a DA. Sejam E e F dois pontos
>variáveis sobre BC e DA, respectivamente, tais que BE
>= DF. As retas AC e BD cortam-se em P; as retas BD e
>EF cortam-se em Q; as retas EF e AC cortam-se em R.
>
>Quando variamos E e F, obtemos diferentes triângulos
>PQR. Prove que os circuncírculos desses triângulos têm
>um ponto comum diferente de P.
>
>6. Numa competição de matemática na qual foram
>propostos 6 problemas, quaisquer dois problemas foram
>resolvidos por mais de 2/5 dos estudantes. Além disso,
>nenhum estudante resolveu todos os 6 problemas. Mostre
>que existem pelo menos 2 estudantes que resolveram 5
>problemas cada um.
>
>[]'s
>Shine
>
>
>		
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>http://www.yahoo.com/r/hs 
> 
>=========================================================================
>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>=========================================================================
>

   Vamos achar os primos que dividem algum a_n, com n>=1 (esses não podem
dividir nenhum elemento desse conjunto de inteiros positivos em questão).
Temos que 2 divide a_1=2+3+6-1=10, e 3 divide a_2=2^2+3^2+6^2-1=48. Além
disso, como (x-1)(x-2)(x-3)(x-6)=x^4-12x^3+47x^2-72x+36, a seqüência
satisfaz a recorrência a_(n+4)=12.a_(n+3)-47.a_(n+2)+72.a_(n+1)-36.a_n (isso
pode ser verificado diretamente, mas vejam também o artigo sobre recorrências 
na Eureka 9). Se p é um primo diferente de 2 e 3, 36 e' inversível módulo p,
e a recorrência é reversível:
a_n=(36)^(-1).(72.a_(n+1)-47.a_(n+2)+12.a_(n+3)-a_(n+4)) (mod p). Assim, a
seqüênciaa_n módulo p é puramente periódica (tem que ser periódica a partir
de um certo ponto pois têm que existir naturais distintos k e m com
a_(k+j)=a_(m+j) (mod p) para j=0,1,2,3 (pois (Z/pZ)^4 é finito), donde
a_(k+j)=a(m+j) (mod p) para todo j natural e, pela reversibilidade, para
todo j inteiro. Como a_(-1)=1/2+1/3+1/6-1=0, devemos então ter a_n=0 (mod p) 
para infinitos valores naturais de n. Assim, todo primo divide a_n para
algum inteiro positivo n, donde o único inteiro positivo que satisfaz a
condição do enunciado é o 1.
    
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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