RES: [obm-l] Serie convergente

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Ola a todos

Hah poucos dias vimos que, se a_n eh uma sequencia de termos positivo e
Soma(n>=1) a_n diverge, entao Soma(n>=1)(a_n)/(k + a_n), k>0, tambem
diverge. 

Suponhamos agora que Soma(n>=1) a_n convirja. Entao, Soma(n>=1)(a_n)/(k +
a_n) tambem converge. Hah uma prova bem mais simples do que aquela que eu
apresentei anteriormente e que se aplicae agora a todo k>0. 

Para todo n, temos que (a_n)/(k + a_n) = ((a_n)/k)/(1 + (a_n)/k). Como a_n
>0 e k>0, segue-se que ((a_n)/k)/(1 + (a_n)/k) <  ((a_n)/k). Considerando-se
agora que Soma(n>=1)(a_n)/k) converge (pois Soma(n>=1)(a_n) converge),
concluimos por comparacao que Soma(n>=1)(a_n)/(k + a_n) converge.

Constatamos tambem que Soma(n>=1)(a_n)/(k + a_n) < (Soma(n>=1) (a_n)/k.

Artur

 
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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