Re: [obm-l] Prova da IMO - Primeiro dia

[Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira <gugu@xxxxxxx>]

   Oi pessoal,
   Vou mandar a minha solução (com contas, naturalmente) do problema 1,
após a cópia da mensagem original do Shine, para ninguém que queira pensar
antes no problema ler involuntariamente a solução. Depois, se não houver
objeções, eu mando as minhas soluções dos problemas que faltam.
   Abraços,
             Gugu

>
>Oi gente,
>
>Acabei de ver a primeira prova da IMO no site
>http://www.mathlinks.ro/
>
>Lá vão os enunciados (eu mesmo traduzi agora).
>
>1. Escolhemos seis pontos sobre os lados do triângulo
>equilátero ABC: A_1, A_2 sobre BC; B_1, B_2 sobre AC;
>C_1, C_2 sobre AB. Essa escolha é feita de modo que
>A_1A_2B_1B_2C_1C_2 é um hexágono convexo com todos os
>seus lados iguais.
>
>Prove que A_1B_2, B_1C_2 e C_1A_2 são concorrentes.
>
>2. Seja a_1,a_2,... uma seqüência de inteiros com
>infinitos termos positivos e negativos. Suponha que
>para todo n inteiro positivo os números
>a_1,a_2,...,a_n deixam n restos diferentes na divisão
>por n.
>
>Prove que todo inteiro aparece exatamente uma vez na
>seqüência a_1,a_2,...
>
>3. Sejam x,y,z reais positivos tais que xyz >= 1.
>Prove que
>(x^5-x^2)/(x^5+y^2+z^2) + 
>(y^5-y^2)/(x^2+y^5+z^2) + 
>(z^5-z^2)/(x^2+y^2+z^5) >= 0.
>
>[]'s
>Shine
>
>
>		
>____________________________________________________
>Start your day with Yahoo! - make it your home page
>http://www.yahoo.com/r/hs
> 
>=========================================================================
>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>=========================================================================
>

Se o lado do triângulo e' 1 e denotamos um segmento em cada lado por a, b e
c, obtemos umas identidades como segue (pela lei dos cossenos): 
a^2+(1-x-b)^2-a(1-x-b)=x^2
b^2+(1-x-c)^2-b(1-x-c)=x^2
c^2+(1-x-a)^2-c(1-x-a)=x^2
Subtraindo a primeira da segunda temos a^2-c^2+(2c-b-a)(1-x)+b(a-c)=0, e,
subtraindo a terceira da segunda, temos b^2-a^2+(2a-c-b)(1-x)+c(b-a)=0, que
podem ser escritas como (a-c)(a+b+c)=(1-x)(a+b-2c) e
(b-a)(a+b+c)=(1-x)(b+c-2a). Multiplicando a primeira por b+c-2a, a segunda
por a+b-2c e igualando, temos, depois de cortar o a+b+c,
(a-c)(b+c-2a)=(b-a)(a+b-2c), donde a(2b-a-c)=b^2+ab-bc+c^2-2ac, ou seja,
ab+ac+bc=a^2+b^2+c^2, donde a=b=c, e a primeira equação vira algo como
a^2+(1-a-x)^2-a(1-a-x)=x^2, donde a^2+(1-a)^2-a(1-a)-2x(1-a)+ax=0, ou seja,
x(2-3a)=3a^2-3a+1, e 1-a-x=(1-2a)/(2-3a). Basta ver então que a reta que
passa por ((1-2a)/(2-3a),0) e (1/2+a/2,(1-a)sqrt(3)/2) passa por
(1/2,sqrt(3)/6), o centro do triângulo, e acabou. 
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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