RES: RES: [obm-l] Medida

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Eu acho que acaba sendo a mesma demonstracao que eu dei, nao eh?
O resultado nao eh valido para qualquer conjunto do R^n porque nem todo
conjunto do R^n eh mensuravel. Hah conjuntos para os quias nao podemos
determinar a medida.
Artur 

-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de Tertuliano
Enviada em: quarta-feira, 6 de julho de 2005 09:03
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: RES: [obm-l] Medida 


Oi Artur, 
Consegui fazer algo parecido, embora mais elementar,
pois nao conheco muita coisa deste assunto: para cada
ponto do Rn com coordenadas racionais tomei um cubo
unitario com centro neste ponto. Fixemo s um destes
cubos, digamos Q_i. Como A tem medida nula, nao eh
dificil concluir q AxQ_i tb possui medida nula. De
resto, basta ver q AxRn eh a uniao enumeravel dos
AxQ_i. Segue q AxRn possui medida nula. 
PS.: nao entendi porque o resultado nao eh valido para
qq subconjunto de Rn.

Tertuliano

--- Artur Costa Steiner <artur.steiner@mme.gov.br>
escreveu:

> Na realidade, esta demonstracao poderia ser um
> pouquinho mais simples do que
> a que eu dei. Nao era preciso aquela passagem de
> paralelepipedos abertos e
> limitados para conjuntos genericos limitados,
> poderiamos ter invocado
> diretamente a sigma-subaditividade da medida. Antes
> de apresentar a prova,
> uma observacao de um fato sutil que me passou
> desapercebido. O enunciado
> deveria dizer que B eh um conjunto qualquer
> MENSURAVEL de R^n, pois nem todo
> subconjunto R^n eh mensuravel (mesmo com a medida de
> Lebesgue). No caso, B
> teria que pertencer aa sigma-algebra de Borel,
> gerada pelos conjuntos
> abertos de R^n 
> 
> A prova poderia ser assim:
> 
> Suponhamos inicialmente que B=P, sendo P um
> paralelepipedo limitado e aberto
> de R^n de hipervolume
> V (V eh a medida de P). Como A tem medida nula, para
> todo eps>0 podemos
> cobri-lo com uma colecao enumeravel {P_k}de
> paralelepipedos abertos e limitados de R^m, cada um
> com hipervolume V_k, tal
> que Soma(k>1)V_k < eps/V. Temos
> entao que {P_k X P} eh uma cobertura enumeravel de A
> X P por paralelepipedos
> abertos de R^(m+n). O
> hipervolume total desta colecao eh Soma(k>=1)V_k * V
> = V *  Soma(k>=1)V_k <
> V * eps/V = eps. Como eps eh
> arbitrario, concluimos que A X P tem medida nula em
> R^(m+n).
> 
> O conjunto R^n pode ser dado pela uniao de uma
> colecao enumeravel (nao
> precisa ser disjunta 2 a 2) {Q_k} de paralelepipedos
> abertos de hipervolume
> 1. Entao, {A X Q^_k} eh uma cobertura enumeravel
> (nao necessariamente
> disjunta 2 a 2) de A X R^n. Como A tem medida nula e
> cada Q_k eh um
> paralelepipedo aberto e limitado, a conclusao
> anterior nos mostra que cada A
> X Q_k tem medida nula. Invocando-se agora a
> sigma-sub-aditividade da medida,
> concluimos que A X R^n tem medida nula. E valendo
> esta conclusao para o caso
> B = R^n, segue-se que vale automaticamente para
> qualquer subconjunto
> MENSURAVEL B de R^n, pois A X B estah contido em A X
> R^n e subconjuntos
> mensuraveis de conjuntos nulos sao nulos.
> 
> A sigma-sub-aditividade da medida eh a propriedade
> segundo a qual se {A_n}
> eh qualquer colecao enumeravel de conjuntos
> mensuraveis e A eh a uniao desta
> colecao, entao u(A) <= Soma(n>=1) u(A_n),
> entendendo-se esta desigualdade no
> sistema dos reais expandidos. Se a colecao for
> disjunta 2 a 2, ocorre
> igualdade.
> 
> Artur
> 
> 
> 
> --- Tertuliano <tertuca@yahoo.com.br> wrote:
> 
> > Oi para todos!
> > Alguem pode me ajudar neste?
> > 
> > Seja A em Rn um conjunto de medida nula e B em Rm
> um
> > conjunto qualquer. Entao AxB tem medida nula.
> > 
> > Grato,
> > Tertuliano
> > 
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