RES: [obm-l] Medida

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Na realidade, esta demonstracao poderia ser um pouquinho mais simples do que
a que eu dei. Nao era preciso aquela passagem de paralelepipedos abertos e
limitados para conjuntos genericos limitados, poderiamos ter invocado
diretamente a sigma-subaditividade da medida. Antes de apresentar a prova,
uma observacao de um fato sutil que me passou desapercebido. O enunciado
deveria dizer que B eh um conjunto qualquer MENSURAVEL de R^n, pois nem todo
subconjunto R^n eh mensuravel (mesmo com a medida de Lebesgue). No caso, B
teria que pertencer aa sigma-algebra de Borel, gerada pelos conjuntos
abertos de R^n 

A prova poderia ser assim:

Suponhamos inicialmente que B=P, sendo P um paralelepipedo limitado e aberto
de R^n de hipervolume
V (V eh a medida de P). Como A tem medida nula, para todo eps>0 podemos
cobri-lo com uma colecao enumeravel {P_k}de
paralelepipedos abertos e limitados de R^m, cada um com hipervolume V_k, tal
que Soma(k>1)V_k < eps/V. Temos
entao que {P_k X P} eh uma cobertura enumeravel de A X P por paralelepipedos
abertos de R^(m+n). O
hipervolume total desta colecao eh Soma(k>=1)V_k * V = V *  Soma(k>=1)V_k <
V * eps/V = eps. Como eps eh
arbitrario, concluimos que A X P tem medida nula em R^(m+n).

O conjunto R^n pode ser dado pela uniao de uma colecao enumeravel (nao
precisa ser disjunta 2 a 2) {Q_k} de paralelepipedos abertos de hipervolume
1. Entao, {A X Q^_k} eh uma cobertura enumeravel (nao necessariamente
disjunta 2 a 2) de A X R^n. Como A tem medida nula e cada Q_k eh um
paralelepipedo aberto e limitado, a conclusao anterior nos mostra que cada A
X Q_k tem medida nula. Invocando-se agora a sigma-sub-aditividade da medida,
concluimos que A X R^n tem medida nula. E valendo esta conclusao para o caso
B = R^n, segue-se que vale automaticamente para qualquer subconjunto
MENSURAVEL B de R^n, pois A X B estah contido em A X R^n e subconjuntos
mensuraveis de conjuntos nulos sao nulos.

A sigma-sub-aditividade da medida eh a propriedade segundo a qual se {A_n}
eh qualquer colecao enumeravel de conjuntos mensuraveis e A eh a uniao desta
colecao, entao u(A) <= Soma(n>=1) u(A_n), entendendo-se esta desigualdade no
sistema dos reais expandidos. Se a colecao for disjunta 2 a 2, ocorre
igualdade.

Artur



--- Tertuliano <tertuca@yahoo.com.br> wrote:

> Oi para todos!
> Alguem pode me ajudar neste?
> 
> Seja A em Rn um conjunto de medida nula e B em Rm um
> conjunto qualquer. Entao AxB tem medida nula.
> 
> Grato,
> Tertuliano
> 
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