RE: [obm-l] Teoremas de Artin

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Pessoal desta
lista ... OBM-L,

A mensagem abaixo foi enviada por engano. Por favor, queiram desconsidera-la

Um Abraco a Todos
Paulo Santa Rita
6,1421,240605

>From: "Paulo Santa Rita" <p_ssr@hotmail.com>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: [obm-l] Teoremas de Artin
>Date: Fri, 24 Jun 2005 15:55:20 +0000
>
>Voce prova em tres passos,
>
>AA) E SEPARAVEL
>
>Para todo "a" em L, construa o conjunto :
>
>C(a) = { f(a); f em H }
>
>Notemos que :
>
>1 -  C(a) e finito, pois H e finito. Alem disso, como H e grupo, "id" esta 
>em H. Logo : a=id(a) pertence a C(a).
>2 -  Para todo g em H, g(C(a)) = { gof(a); f em H } esta contido em C(a). 
>Como g e K-automorfismo, em particular, g e injetivo. Logo, g injetivo e 
>C(a) finito implicam : g(C(a))=C(a)
>
>Fixado isso, considere o polinomio :
>
>F(a)=PRODUTORIO (X - B), B variando em C(a)
>Claramente que f(a) e um polinomio de L[X]
>
>Como g(C(a))=C(a) para todo g em H segue que para todo g em H, teremos :
>
>F(a,g)=PRODUTORIA(X-g(B))=PRODUTORIO(X-B)=F(a),  B variando em C(a)
>
>E esta igualdade acima que nos permite afirmar que o polinomio F(a) esta no 
>anel de polinomios do corpo fixo de H pela correspondencia de Galois. Ora, 
>o valor de F(a) no ponto "a" e zero, claramente, pois "a" pertence a C(a). 
>Daqui concluimos que "a" e algebrico. Como o seu polinomio minimo dividira 
>F(a) e F(a) e claramente separavel, segue que este polinomio minimo e 
>separavel.
>
>Isto estabelece que a extensao e separavel.
>
>BB) E FINITA
>
>Chamarei o corpo fixo de H pela correspondencia de Galois de L^H. Sabemos 
>que H e um sugbrupo de Aut(L|K) e que H e finito. Para mostrar que L|L^H e 
>finita, mostraremos que :
>
>[L : L^H] =< |H|
>
>O que o autor que dizer e o seguinte : suponha que [L : L^H] > |H|. Entao L 
># L^H, vale dizer, L^H esta contido em L e e diferente de L. Entao existe 
>x1 pertencente a L - L^H. Segue que o o menor corpo que contem L^H e x1, 
>isto e, L^H(x1), e tal que L^H # L^H(x1).
>
>Se for [L^H(x1) : L^H] > |H| teremos :
>
>L^H esta contido em L^H(x1) esta contido em L
>
>Ora, nos ja mostramos que L|L^H e separavel. Logo, L^H(x1) | L^H e 
>separavel. Mais que isto, ela e finita, pois todo elemento de L e algebrico 
>sobre L^H. Em particular, x1 e algebrico sobre L^H. Segue, pelo teorema do 
>elemento primitivo, que existe um y em L^H(x1) tal que L^H(x1)=L^H(y). E 
>dai chegamos a :
>
>|H| < [L^H(x1) : L^H]=[L^H(y):L^H]=grau de polinomio minimo de y em L^H < 
>F(y) =< |H|
>... um evidente absurdo ! Segue que nao podemos ter  [L : L^H] > |H|. Isto 
>estabelece que a extensao e finita
>
>OBS1 : Quando, acima, falamos  "se for [L^H(x1) : L^H] > |H| ..." e claro 
>que poderiamos chegar ao caso em que [L^H(x1) : L^H] =< |H| e o argumento 
>falharia. Claramente que, nesta circunstancia, tomariamos um x2 em L - 
>L^H(x1) e construiriamos o corpo minimo L^H(x1,x2) e repetiriamos o 
>raciocinio. E assim sucessivamente até termos um corpo minimo 
>L^H(x1,...,xn) tal que ocorrese o fato que desejamos, vale dizer, ate que 
>[L^H(x1,...,xn) : L^H] >|H|
>
>OBS2 : Na passagem acima, F(y) e o polinomio F(a) que construimos acima, 
>vale dizer, o polinomio representado por F(y) e : F(y)=PRODUTORIO(X-B), B 
>variando em C(y), C(y)={f(y); f em H}.
>
>CC) E NORMAL
>
>Como L|L^H e finita entao : | Aut(L|L^H)| =< [L:L^H] =< |H|. Como H e 
>subgrupo de Aut(L|L^H) entao |H| =< | Aut(L|L^H)|. Segue que |H| =< | 
>Aut(L|L^H)| =< [L:L^H] =< |H|. Donde deduzimos que |Aut(L|L^H)|=[L:L^H]
>
>Isto estabelece que L|L^H e normal e que H=Aut(L|L^H)
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