Re: [obm-l] Subconjunto N'

[Bruno França dos Reis <bfreis@xxxxxxxxx>]

a)
Seja n = 100a + 10b + c, para 0 < a <=9 e 0<=b, c <=9
n/2 + 2 = 50a + 5b + c/2 + 2

Permutando-se ciclicamente o número abc, podemos obter bca ou cab.

(i) 50a + 5b + c/2 + 2 = 100b + 10c + a
(ii) 50a + 5b + c/2 + 2 = 100c + 10a + b

Desenvolvendo (i):
49a - 95b + 2 = 19c/2 ==> 98a - 190b + 4 = 19c (*)
Olhando (mod. 19), temos:
3a + 4 = 0 (mod. 19) ==> a = 5
substituindo em (*), ficamos com
19*26 = 19*(c+10b) ==> b=2, c=6 ==> n = 526, e n/2 + 2 = 265, OK!

Agora olhando (ii):
40a + 4b + 2 = 199c/2 ==> 80a + 8b + 4 = 199c (**)
Olhando (mod. 4), temos:
3c = 0 (mod 4) ==> c = 4 ou c = 8
caso 1) c = 4 ==> substituindo em (**), temos 20a + 2b = 2*9*11 ==> a = b = 9 ==> n = 994 e n/2 + 2 = 499, OK!
caso 2) c = 8 ==> substituindo em (**), temos: 20a + 2b + 1 = 199*2 ==> nao existem a e b.

Logo, todos os elementos de N' com 3 algarismos são 526 e 994.


b) Vamos provar que todos os números da forma 9..994 estão em N', i.e.,
vamos provar que 10^n - 6 \in N, para n>=2 está em N'. Para isso,
vamos mostrar que 9...94 / 2 + 2 = 49...9, i.e., (10^n - 6)/2 + 2 =
(10^n)/2 - 1. A verificação é imediata.
*** Está certo isso? Está suficiente esta demonstração? É que achei tão
claro que 9..94 está em N, que não senti a necessidade de mais
argumentação... comentem!

c) Estou de saída... à noite eu penso no item (c) (se é que até lá ninguém vai ter respondido ainda!)


Abraço
Bruno

On 6/8/05, Eduardo Wilner <eduardowilner@yahoo.com.br> wrote:

  N' eh um subconjunto de N, tal que se n pertence a
N',
(n/2)+2 pode ser obtido permutando-se ciclicamente os
algarismos de n.
  a) Determine os elementos de N' com 3 algarismos.
  b) Prove que o cardinal de N' eh infinito.
  c) Existem elementos de N' que somados a um quadrado
perfeito resulte em 2005?





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e^(pi*i)+1=0