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não seria S_(2^(k-1)) = S_(2^(k-1)+1) - f(2^(k-1)+1) ?
Digo isso pois refiz o programinha do Ronaldo Luiz Alonso na "bc",
calculadora com precisão arbitrária, dei umas modificadas para
otimizá-lo (pq calcular fatoriais até 1023 não é moleza...), e cheguei
em S = 518656, e sua resposta é S = 15*2^9 + 2 = 7682.
Minha resolução ficaria meio dificil de escrever em texto puro, estou fazendo em LaTeX, tem um pdf em:
http://reis.sytes.net:8011/bruno/mat/prob.pdf
para quem quiser ver.
Em linha geral, o que fiz foi:
Defini φ: N -> N, tal que φ(n) é o expoente de 2 na fatoração em
primos do número n (φ(n) = B_n, na notação do Daniel); outra forma: n =
2^a * (2b+1) ==> φ(n) = a.
Temos que φ(2n+1) = 0, e φ(2n) = φ(n) + 1.
Então f(n) = sum(k=1..n, φ(k))
Então S = sum(i = 1..1023, f(i)) = sum(i = 1..1023, sum(k=1..i, φ(k))) = sum(k=1..1023, (1024 - k)(φ(k)).
Agora, usando as propriedades citadas da função φ repetidas vezes,
vamos simplificando a soma, até chegar em S = 518656. As passagens de
simplificação estão no documento supra-citado. Repare que o limite da
soma inicial é 2^10-1. Na segunda soma que encontro, simplificando
esta, reduzo o limite a 2^9-1, e dado um limite 2^n - 1, reduzo-o a
2^(n-1) - 1. Então é possÃvel calcular a soma em 10 passagens (se eu
não terminar, é por preguiça, mas por indução, vê-se facilmente que
funciona).
Apontem meus erros!
Até mais
Bruno