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Re: [obm-l] a(n+1) = x^a(n)
Oi Cláudio,
Creio que o caso 0< x <e^(-e) também é interessante.
Mas vc já o resolveu: fez o mais difícil, que é
explicar que a sequência é limitada e converge
alternadamente para dois valores. Isto é, formam-se
duas sequências crescentes e limitadas (portanto
convergentes!) intercalando os valores de a[n].
Quanto aos valores de aderência, dado 0< x <e^(-e),
temos:
...
a[n] = A
a[n+1]= x^a[n] = x^A = B
a[n+2]= x^a[n+1]=x^B = A
a[n+3]= x^A = B
...
Assim temos:
A*ln(x) = ln(B) e também B*ln(x) = ln(A) =>
Ou seja, dado x, A e B serão a sol. do sistema de
equações:
(1) -> A*ln(x) = ln(B)
(2) -> B*ln(x) = ln(A)
A e B são positivos, pois x é positivo.
Observando as expressões (1) e (2) e considerando que
ln(x) é um número negativo (porque0< x <e^(-e)),
concluímos que A e B são menores que 1. Isto é,
supondo por hipótese que A>B, temos 1>A>B. De fato,
quando x tende a 0, A->1 e B->x, pois A = ln(B)/ln(x).
Por exemplo, com x =0.000005
temos B =~ .0000050037288 e A=~ .999938925988
[]´s
Demétrio
--- Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br>
escreveu:
> OI, Demetrio:
>
> Segue abaixo uma solucao detalhada para o problema
> de se determinar os
> valores de x tais que a sequencia (a(n)) dada por
> a(1) = x e a(n+1) = x^a(n)
> converge. O caso 0 < x < 1 foi feito pelo Marcio
> Cohen.
>
> Repare que o meu enunciado na minha mensagem
> anterior estava errado: de
> fato, a sequencia converge apenas com x em
> [e^(-e),e^(1/e)].
>
> Talvez seja interessante ver o que acontece quando 0
> < x < e^(-e). Nesse
> caso, a sequencia eh limitada (0 < a_n < 1, para
> todo n) e, portanto, possui
> alguma subsequencia convergente. Assim, dado x,
> quais os valores de
> aderencia de a_n?
>
> []s,
> Claudio.
>
> ***
>
> Se x = 1 entao a_n eh obviamente constante e igual a
> 1.
>
> Assim, suponhamos que x > 1:
> 1) (a_n) é crescente.
> Dem:
> a_1 = x > 1
> a_2 = x^x > x^1 = x = a_1
> Suponhamos que a_n = x^a_(n-1) > a_(n-1).
> Teremos, então que a_(n+1) = x^a_n = x^(x^a_(n-1)) >
> x^a_(n-1) = a_n.
> Logo, por indução, o resultado está provado.
>
> 2) Se 1 < x <= e^(1/e), então, para todo n, a_n <=
> e.
> Dem:
> a_1 = x <= e^(1/e) < e
> a_2 = x^x <= (e^(1/e))^e = e^(e/e) = e^1 = e
> Suponhamos que a_n <= e.
> Então, a_(n+1) = x^a_n <= (e^(1/e))^a_n <= e^(e/e) =
> e^1 = e.
> Logo, por indução, o resultado está provado.
>
> Assim, se 1 < x <= e^(1/e), então a_n é crescente e
> limitada. Logo,
> converge.
>
> Em particular, se x = e^(1/e), teremos que lim a_n =
> e.
>
> 3) Se x > e^(1/e), então (a_n) é crescente e
> ilimitada.
> Dem:
> Já provamos acima que (a_n) é crescente.
> Suponhamos que exista K > 0 tal que, para todo n,
> a_n < K.
> Nesse caso, deverá existir L = lim a_n.
> Assim, L = x^L > (e^(1/e))^L = e^(L/e) ==>
> ln(L) > L/e ==>
> contradição, pois para todo x > 0, ln(x) <= x/e ==>
> não existe lim a_n ==>
> como (a_n) é crescente, não pode ser limitada.
>
> ***
>
> Considere o caso 0<x<1. Entao, x^x < x (pois a
> funcao h(y)=a^y eh
> decrescente para a em (0,1)), i.e a2 < a1.
> Do mesmo modo, x^(x^x) > x^x, i.e, a_3 > a_2
> (agora usando a = x^x).
> Com a = x^(x^x), vc conclui que a_4 < a_3.
> Sendo composta de duas funcoes decrescentes, a
> funcao h(y) = x^(x^y) eh
> crescente, e portanto a_1 < a_3 (y=x e y=0) e em
> geral:
> a_1 < a_3 < a_5 < ..... < a_6 < a_4 < a_2
> A sequencia (a_n) tem portanto dois valores de
> aderencia, que
> vamos chamar de A1 e A2. Ela converge sse esses
> valores forem iguais.
> Observe q a subsequencia impar e par que satisfazem:
> a_n+2 = x^(x^a_n). Os
> valores de aderencia satisfazem portanto Ai =
> x^(x^Ai), A1 = x^(A2) e A2
> = x^(A1).
> Considere entao a funcao h(y) = x^(x^y) - y.
> Essa equacao sempre tem ao menos uma raiz (que vou
> chamar de L'), que eh a
> raiz de g(y)=x^y-y (fazendo o grafico, como x < 1,
> x^y eh decrescente e y
> eh crescente, logo ha no maximo uma raiz. Analisando
> os valores em y=0 e y=1
> garantimos que essa raiz de fato existe). Note que
> a_n, caso seja
> convergente, vai para L'.
> h'(y) = x^(x^y) * (x^y) * (lnx)^2 - 1
> h''(y) = x^(x^y) * (x^y) * (lnx)^3 * ( 1 + (x^y)*lnx
> )
> Como h'' tem no maximo uma raiz em (0,1) (soh o
> ultimo parentesis acima pode
> se anular), vemos que h tem no maximo 3 raizes em
> (0,1) (pelo tvi, 4 raizes
> de h implicam ao menos 3 de h', ..)
> 1o caso: h'(L') > 0. Desenhando o grafico, vc ve
> que h tem tres raizes
> L1<L'<L2 nesse caso (mais formalmente, h(0)=x > 0,
> h(L'-eps)<0, h(L'+eps)>0
> e h(1)=x^(x) - x < 0).
> Alem disso, nesse caso a seq. diverge, pois ou
> ela comeca de a_1 = x <=
> L1 e nesse caso a subsequencia impar fica limitada
> por L1 (inducao) nao
> podendo nunca chegar em L', ou entao, se L1 < x,
> como h(0)>0 e
> h(x)=x^(x^x)-x > 0, temos ao menos duas raizes em
> (0,x), e portanto L'< x,
> de modo que (a_n) nao pode convergir para L' (pois a
> subseq. impar eh
> crescente).
> 2o caso: h'(L') <= 0. Nesse caso, é impossível
> haver 3 raízes L1 < L' <
> L2 (pois isso traria ao menos 2 raízes em (0,L') (ja
> que h(0)*h(L'- eps)>0)
> e mais duas em (L', 1), totalizando mais de 3
> raizes. Portanto, nesse caso
> a serie converge (pois se ela divergisse, a equacao
> teria como solucao pelo
> menos os dois valores de aderencia distintos A1 <
> A2, alem do ponto fixo L',
> sendo que L' != A1,A2 (se L'=A1, entao A2 =
> x^(A1)=x^(L')=L'=A1).
> Logo, a_n converge sse h'(L') <= 0 sse (L')^2 *
> (lnx)^2 <= 1 sse (ln
> L')^2 <= 1 sse e^-1 <= L' <= e sse L' >= e^-1 (pois
> claramente L'<1<e).
> Agora, x = L' ^(1/L'), e a funcao f(y) = y^(1/y) eh
> crescente para y<e
> (f'(y) = f(y)*(1-lny)/y^2), logo L'>= 1/e sse x >=
> (1/e)^e = e^(-e).
>
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> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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