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Re:[obm-l] Transcendentes - forma definitiva.

Esse também é um belo problema:
 
Prove que se a(1) = x > 0 e a(n+1) = x^a(n), para n >= 1, então a sequência ((a(n)) converge se e somente se x <= e^(1/e).
 
[]s,
Claudio.
 
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Wed, 18 May 2005 00:53:25 +0000
Assunto: Re:[obm-l] Transcendentes - forma definitiva.
> Oi Claudio e demais colegas
> desta lista ... OBM-L,
>
> Resposta correta.
>
> Em linhas gerais, a historia do problema e a seguinte : alguem resolveu um
> problema mostrando que haviam duas respostas possiveis, uma das quais
> deveria ser falsa. Uma estudante reclamou querendo saber a opcao correta. Eu
> invoquei o teorema do Gelfond e identifiquei a resposta correta :
>
> Gelfond => raiz(2)^raiz(2) e transcendente => e irracional
>
> E entao resolvi construir explicitamente uma sequencia de numeros
> transcendentes que tinha como limite um numero natural. Aqui entrou o GUGU,
> reclamando que mesmo nao sabendo provar a transcendencia, nao haviam
> hipoteses suficientes para postular tal transcendencia. A reclamacao dele,
> correta e justificavel, era implicitamente a proposicao de um problema :
> este problema abaixo, onde voce ensaia uma solucao ...
>
> Voce faz a observacao basica e fundamental : fixando a "base", o restante (
> o expoente ) tende para o mesmo limite. Dai, na sua linguagem, r=t^r. Daqui
> sai tranquilo o resto. Note que se voce faz uma tal passagem perante algumas
> assembleias que amam o detalhe, muito provavelmente voce sera linchado e
> execrado... Eu sempre achei notavel a capacidade de algumas pessoas de
> essencializar
> o trivial e trivializar o essencial. Mas elas existem. E sao muitas !
>
> Note tambem que o pulo logico final precisa ser conectado com o "e" as
> demais hipoteses.
>
> Quer descobrir algo que vai lhe surpreender ? Mantenha do lado esquerdo do
> cerebro o numero e=2,71... Com o lado direito estude as sequencias da forma
> X^X^X^... QUE CONVERGEM. Procure descobrir algo equivalente a um "raio de
> convergencia".
>
> E com os melhores votos
> de paz profunda, sou
>
> Paulo Santa Rita
> 3,2154,170505
>
> >From: "claudio.buffara"
> >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >To: "obm-l"
> >Subject: Re:[obm-l] Transcendentes - forma definitiva.
> >Date: Tue, 17 May 2005 13:47:18 -0300
> >
> > > Ola Pessoal desta
> > > lista ... OBM-L,
> > >
> > > Esse problema e antigo, bonito e foi proposto aqui nesta lista - se nao
> >me
> > > falha a memoria - pelo Prof Carlos Gustavo (GUGU), em uma forma menos
> >geral.
> > > Peco desculpas a todos por tantas correcoes.
> > >
> > > Seja T um transcendente da forma i^i, onde i e um irracional algebrico.
> > > Definimos a sequencia :
> > >
> > > A(1) = T
> > > A(N+1) = T^A(N)
> > >
> > > Se LIM A(N)=r, r racional, Considere a afirmacao : "Existe N, N
> > > suficientemente grande, tal que A(N) e algebrico". Voce consegue provar
> >ou
> > > refutar esta afirmacao ? Note que nao e possivel aplicar, DIRETAMENTE, o
> > > teorema de Gelfond.
> > >
> > > Um Abraco a Todos
> > > Paulo Santa Rita
> > > 3,1242,170505
> > >
> > >
> >Oi, Paulo:
> >
> >Se lim A(n) existe e é igual ao racional r, então lim A(n+1) = r.
> >Portanto, teremos: r = t^r ==>
> >t = r^(1/r) = algébrico ==>
> >contradição, pois estamos supondo que t é transcendente.
> >
> >Logo, ou lim A(n) não existe ou existe mas é irracional.
> >
> >Assim, a sentença:
> >lim A(n) é racional ==> A(N) é algébrico para algum N suficientemente
> >grande
> >é verdadeira, já que a sua premissa é falsa.
> >
> >Era isso o que você tinha em mente?
> >
> >[]s,
> >Claudio.
>