[obm-l] Angulos adventicios (era: Geometria Plana)

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Tue, May 10, 2005 at 02:11:08AM -0300, Paulo Cesar wrote:
> Eis uma questão que já me deu alguma dor de cabeça:
> 
> Seja ABC um triângulo isósceles com AB=AC e ângulo BAC valendo 12º.
> Traça-se de B a bissetriz BD, D em AC, e traça-se de C a ceviana CE, E
> em AB, de modo que o ângulo ECB seja 30º. Determine o ângulo BDE.

É possível dar uma solução puramente geométrica (só com geometria da 8a série)
para este problema, mas é bastante difícil. A solução abaixo não é minha,
é transcrita de "Last words on adventitious angles",
Mathematical Gazette, 62, pp 174-183, 1978 e é devida a
Mr C. F. Parry de Burghfield Common, Berkshire.
O artigo deve ser lido junto com "Adventitious angles", Colin Tripp,
Mathematical Gazette, 59, pp 98-106, 1975 e
"The adventitious angles problem: a progress report",
Mathematical Gazette, 61, pp 55-58, 1977.
Todos eles tratam de variaçoes deste problema mudando apenas os valores
dos ângulos (aqui 12, 42 e 30).

Seja X o ponto de interseção de BD e CE.
Temos XCD = XDC = 54 graus, assim XC = XD.
Trace perpendiculares XY e XZ a BC e BE, resp.
Sejam P e Q os pontos médios de XC e XD, resp.
Seja R a interseção de XE e QZ.

O círculo XYC tem centro P donde XQ = XP = XY = XZ
e portanto XQZ é isósceles. Como BXZ = 48 temos XQZ = XZQ = 24.
Mas EXZ = 24, donde RXZ é isósceles e, como EZX é reto,
R é o centro do círculo EXZ. Assim R é o ponto médio de EX
e portanto DE é paralela a QZ e BDE = XQZ = 24.

[]s, N.

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