Re: [obm-l] Mais Isomorfismos

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Fri, May 06, 2005 at 10:31:32PM -0300, Claudio Buffara wrote:
> on 06.05.05 17:22, Nicolau C. Saldanha at nicolau@mat.puc-rio.br wrote:
> > On Fri, May 06, 2005 at 04:12:43PM -0300, Claudio Buffara wrote:
> >> Uma duvida: o grupo aditivo dos reais eh isomorfo ao grupo aditivo dos
> >> complexos?
> > 
> > Sim, ambos são Q-espaços vetoriais de mesma dimensão (card(R)).
> 
> Como eh que se demonstra que dois espacos vetoriais sobre o mesmo corpo com
> mesma dimensao infinita sao isomorfos? Onde entra o axioma da escolha? Soh
> na existencia das bases?

Em geral, você precisa do axioma da escolha para provar que espaços vetoriais
de dimensão infinita têm bases. Nestes casos particulares (C e R como Q-e.v.)
eu sei que você precisa de alguma versão do axioma da escolha. É consistente
com ZF (teoria dos conjuntos usual sem o axioma da escolha) que todo
subconjunto de R seja Lebesgue mensurável. No entanto é fácil, dada uma base
para R como Q-e.v., construir um subconjunto A de [0,1] tal que uma união
disjunta de uma quantidade infinita e enumerável de transladados de A
contém [b,c] e está contida em [a,d], a<b<c<d.

Por outro lado eu não sei dizer se é possível construir o isomorfismo
que você pediu inicialmente sem o axioma da escolha.

Quanto a sua outra pergunta, sejam V1 e V2 dois espaços vetoriais sobre
o mesmo corpo K. Sejam B1 e B2 bases de V1 e V2, respectivamente. Seja
f: B1 -> B2 uma bijeção. Então podemos estender f de forma unica a uma
transformação linear F: V1 -> V2 e não é difícil provar que F é isomorfismo.

Falando neste tipo de coisa, quase todos os espaços vetoriais de dimensão
infinita que aparecem em análise funcional têm dimensão (no sentido algébrico)
igual a c, o cardinal de R. Um outro teorema bem mais difícil e profundo
diz que quaisquer dois espaços de Banach de dimensão infinita e separáveis
são homeomorfos. O porém é que o isomorfismo como espaço vetorial é muito
descontínuo e o homeomorfismo não é linear. Assim dois espaços de Banach
em geral (com hipóteses bem razoáveis) são isomorfos no sentido algébrico
e são homeomorfos, mas nem por isso são isomorfos como espaços de Banach.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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