[obm-l] Mais Isomorfismos

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Uma duvida: o grupo aditivo dos reais eh isomorfo ao grupo aditivo dos
complexos?

Nao eh dificil ver que os grupos multiplicativos dos reais nao nulos e dos
complexos nao nulos nao sao isomorfos (dica: o problema estah no i), mas no
caso dos grupos aditivos, o fato de i^2 = -1 nao parece ter nenhuma
importancia.

Por exemplo, se f:C -> R for um isomorfismo, com f(1) = a e f(i) = b, entao:
f(r) = r*a e f(r*i) = r*b para cada racional r.
Logo, para quaisquer racionais r e s, f(r + s*i) = r*a + s*b.
Isso implica que a e b devem ser LI sobre Q pois, caso contrario, f nao
seria injetiva.

Talvez esse problema esteja relacionado a existencia de uma funcao g:R -> R
que satisfaz a g(x+y) = g(x)+g(y) para quaisquer x e y reais mas que eh
descontinua em todo ponto (lah vem o axioma da escolha de novo...)

[]s,
Claudio.


=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================