Re: [obm-l] Olimpiada Relampago

[Demetrio Freitas <demetrio_freitas_2002_10@xxxxxxxxxxxx>]

Uma solução alternativa para a questão 4:

Considere R = (2 + sqrt(3))^k e R* = (2 - sqrt(3))^k 
Considere R = I + F, onde I e F são as partes inteira
e fracionária do número respectivamente. 

É fácil notar que R* é o complemento da parte
fracionária de  R isto é, que F + R* = 1. Isto porque:

A) –>  R + R* = 2n, onde n é um número inteiro. Para
ver isso Basta usar expandir o binônmio:

R   = 2^k + k*2^(k-1)sqrt(3) + (k,2)*2^(k-2)*3 +
(k,3)*2^(k-3)*sqrt(3)^3  .... + sqrt(3)^k
R* = 2^k - k*2^(k-1)sqrt(3)  + (k,2)*2^(k-2)*3 -
(k,3)*2^(k-3)*sqrt(3)^3   .... +- sqrt(3)^k

Os termos onde sqrt(3) aparece com expoente ímpar tem
sinais opostos em R e R* e se cancelam ao somar-se R +
R*. Já os termos onde sqrt(3) aparece em expoente par
tem o mesmo sinal e se somam, de forma que:
R + R* = 2 * (2^k + (k,2)*2^(k-2)*3 +
(k,4)*2^(k-4)*3^2  ....)

Resumindo, R + R* é inteiro e par.

B)-> R* é menor do que 1, porque sqrt(3) é menor do
que 1.

Juntando A com B percebe-se que R + R* = I + 1. Como
sabemos que R+R* = 2n é par, vem que I = R + R* - 1 só
pode ser ímpar...

Deve ser mais ou menos isso, apesar de que questões
resolvidas depois do almoço sempre saem com algum
problema...   

[]´s Demetrio



--- "Nicolau C. Saldanha" <nicolau@mat.puc-rio.br>
escreveu:
> No dia 15 de abril houve aqui na PUC um evento
> chamado PUC por um dia.
> Neste dia eu organizei uma olimpíada relâmpago, com
> alguns dos meus
> problemas olímpicos mas relativamente fáceis
> favoritos. Convido vocês
> a darem uma olhada. Está aqui:
> 
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/20050415/
> 
> []s, N.
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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