[obm-l] Banach-Tarski júnior

["claudio.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Achei esse exercício bem legal:

 

Defina uma relação R no intervalo [0,1] da seguinte forma:

xRy <==> x - y é racional.

 

1) Prove que R é uma relação de equivalência, a qual particiona [0,1] numa infinidade não-enumerável de subconjuntos (classes de equivalência) enumeráveis, um dos quais consiste precisamente de todos os racionais nesse intervalo.

 

2) Prove que [0,1] tem um subconjunto A que intersecta cada classe de equivalência num único elemento (não tente construir este conjunto!)

 

3) Prove que, dados racionais distintos q e r, os conjuntos q + A e r + A são disjuntos ( q + A = {q + x | x pertence a A} ). Em particular, para todo q em Q inter [0,1], os conjuntos da forma q + A formam uma partição de algum subconjunto B do intervalo [0,2].

 

4) Seja f:(Q inter [0,1]) -> Q uma bijeção.

Prove que a função que leva o subconjunto q + A de B no conjunto f(q) + A está bem definida (qual o domínio dessa função?) e que os conjuntos da forma f(q) + A formam uma partição da reta real.

 

***

 

O que está sendo feito neste problema é decompor um subconjunto do intervalo [0,2] (o conjunto B acima) numa quantidade enumerável de subconjuntos disjuntos (da forma q + A) e transladar cada um desses subconjuntos (para f(q) + A) de modo que a união deles seja igual ao conjunto dos números reais. 

 

Agora responda: matemática é ou não um negócio muito louco?

 

[]s,

Claudio.