[Date Prev][Date Next][Thread Prev][Thread Next][Date Index][Thread Index]

Re: [obm-l] autovalores , autovetores

 
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Mon, 02 May 2005 13:44:25 -0300
Assunto: Re: [obm-l] autovalores , autovetores
> Vamos passar a limpo.
> Os resultados seguintes sao do livro de R.A Johnson e Dean W. Wichern
> (Applied Multivariate Statistical Analysis)
>
> I - Seja A uma matriz kxk simetrica. Entao A tem k pares de autovalores
> e autovetores, a saber:
> c1, e1, ..., ck, ek
> Os autovetores podem ser escolhidos de forma a satisfazer
> 1 = e1'*e1 = ... = ek'ek e serem mutalmente perpendiculares. Os
> autovetores sao unicos a menos que dois ou mais autovalores sejam iguais
>
Ou seja, existe uma base ortonormal do R^n formada por autovetores de A.
Isso é verdade mas não é tão básico quanto o argumento que eu usei, que só envolve o teorema da imagem e do núcleo e, de fato, vale pra qualquer matriz de posto 1 e não apenas uma da forma u*u'.
 
> II - A decomposicao espectral de uma matriz kxk simetrica A é dada por
> A = c1 e1'*e1 + ... + ck ek'*ek
>
Eu não sabia disso, mas chequei meus alfarrábios e é verdade sim.
É uma consequencia do teorema espectral.
Nesse caso, eu costumo supor que os ei's são vetores-coluna, de modo que o produto que resulta numa matriz nxn é ei*ei' = matriz cujas linhas são múltiplos escalares de ei, onde o escalar da i-ésima linha é a i-ésima componente de ei.
Assim, (ei*ei')*ej = 0  (vetor coluna)  e  (ei*ei')*ei = |ei|^2*ei = ei.
 
 
> Dei um append nas suas duas mensagens e vou comenta-las abaixo.
>
> Claudio Buffara wrote:
>
> > on 29.04.05 17:56, Fabio Niski at fniski@terra.com.br wrote:
> >
> >
> >>Obrigado Claudio.
> >>Alias, sobre a sua afirmativa "u*u'tem posto 1 e, portanto, n-1
> >>autovalores são iguais a 0." veja, por gentileza, se o meu argumento
> >>esta correto:
> >>
> >>Como A é simetrica podemos escreve-la da seguinte maneira
> >>A = c1*e1'*e1 + ... + cn*en'*en
> >>onde os ci sao os autovalores e os ei os autovetores correspondentes.
> >>Como A tem posto 1 e os autovETORES sao l.i só se pode ter um autovalor
> >>diferente de 0.
> >>
> >
> > Essa expressao para A nao me parece obvia a priori.
> > Alem disso, como voce prova que os autovetores (nao autovalores) sao L.I.?
> > Eles soh serao L.I. a priori se os autovalores correspondentes forem
> > distintos, o que nao ocorre nesse caso (n-1 deles sao iguais a 0).
>
> Quando voce diz que os autovetores serao LI se os autovalores
> correspondentes forem distintos, considere
> u' = (4 2 7 6)
> Fiz as continhas no Mathematica, e veja
> u'*u =
> {{16, 8, 28, 24}, {8, 4, 14, 12}, {28, 14, 49, 42}, {24, 12, 42, 36}}
>
> eigenvalues = {105, 0, 0, 0}
>
> eigenvectors = {{4, 2, 7, 6}, {-3, 0, 0, 2}, {-7, 0, 4, 0}, {-1, 2, 0, 0}}
>
> MatrixRank[eigenvectors] = 4 (!)
>
> Veja que autovalores iguais deram origem a autovalores L.I (pois a
> matriz formada pelos 4 autovetores tem posto = 4).
>
Isso pode. Um exemplo mais simples ainda seria a matriz identidade, onde cada vetor do R^n é um autovetor correspondente ao autovalor 1.
O que não pode é autovalores distintos darem origem a autovetores correspondentes L.D.
 
> O que eu falei estava errado pois na expressao
> A = c1*e1'*e1 + ... + cn*en'*en
> eu estava interpretando (talvez por bebedeira) como a compoiscao de A
> coluna por coluna, ou seja ignorando o fato de que em'*em é uma matriz.
>
>
> >
> > A sua formula nao estah certa.
> > Se e1 eh um autovetor, entao, para qualquer escalar k <> 0, k*e1
> >tambem eh
> >autovetor associado ao mesmo autovalor, mas (k*e1)*(k*e1') = >k2*(e1*e1').
> >Logo, a sua expressao para A nao pode estar certa, a menos que A = 0 e,
> >portanto, cada ei = 0.
> >
> >Por exemplo, seja A =
> >5 2
> >2 2
> >
> >Polinomio caracteristico: t2 - 7t + 6 ==> autovalores: 1 e 6.
> >Os autovetores associados sao, respectivamente:
> >(1,-2)^t e (2,1)^t
> >
> >Pela sua formula, teriamos:
> >A =
> >13 22
> > 4 16
> >mesmo normalizando os autovetores (no caso, multiplicando-os por
> >1/raiz(5)),
> >ainda nao obteriamos a expressao correta.
> >De onde voce tirou isso?
>
autovalor 1 ==> autovetor (-1,2)^t
autovalor 6 ==> autovetor (2,1)^t
 
[-1]*[-1  2] = [  1   -2 ]  = A(1)
[ 2 ]               [-2    4 ]
 
[ 2 ]*[ 2  1] = [ 4   2 ]  = A(6)
[ 1 ]               [ 2   1 ]
 
1*A(1) + 6*A(6) = [ 25   10 ]
                            [ 10   10 ]
Normalizando (ou seja, dividindo por 5), obtemos A.
Conclusão: eu errei nas contas...
 
> Os autovetores sao
> {2,1} e {-1,2}
>
> Tirando o fato que eu esqueci de omitir (e voce citou)
 
"esqueci de omitir?" ????
 
> que os
> autovetores deveriam ser normalizados o resultado (II) é confirmado pelo
> Mathematica (ao que parece voce apenas errou ao calcular os autovetores)
> Concorda?
>
 
Yes, sir!
 
[]s,
Claudio.