Acho que agora foi...
O teorema é o seguinte:
Sejam A um anel comutativo com 1 e x um elemento não-nilpotente de A.
Então A possui um ideal I ao qual x não pertence.
Se A for um corpo, então qualquer não-nilpotente é invertível e nenhum invertível pertence ao ideal (0). Assim, podemos tomar I = (0).
Se A não for um corpo, temos dois casos a considerar:
Caso 1: x não é um divisor de zero.
Nesse caso, seja a um elemento não-nulo e não invertível de A.
Seja I = (ax).
Suponhamos que x pertence a I.
Então, existe b em A tal que x = bax ==>
x(1 - ba) = 0 ==>
1 - ba = 0, pois x não é divisor de zero ==>
ba = 1 ==>
a é invertível ==>
contradição ==>
x não pertence a I.
Caso 2: x é um divisor de zero.
Nesse caso, existe y em A tal que y <> 0 e xy = 0.
Seja I = (y).
Suponhamos que x pertence a I.
Então, x = by, para algum b em A ==>
x^2 = xby = bxy = 0 ==>
x é nilpotente ==>
contradição ==>
x não pertence a I.
***
Corolário:
Seja x um elemento não-nilpotente de algum anel A (comutativo com 1) que não é corpo. Seja S = {J | J é ideal de A e, para todo inteiro positivo n, x^n não pertence a J}.
Então, S possui algum ideal diferente de (0).
[]s,
Claudio.