[obm-l] Re: subespaços fechados

[kleinad@xxxxxxxxxx]

Se F tem dimensão finita sobre os reais, então F é fechado, e isso independe
do espaço onde F está imerso.

Para o contra-exemplo no caso de F ter dimensão infinita, seja F o subespaço
das seqüencias (x_1, x_2, ...) tais que x_i = 0 para todo i salvo uma
quantidade finita. F está imerso no espaço V = { x = (x_1, x_2, ...) tal que
x é seqüencia real onde a série |x_1| + |x_2| + ... converge }, e passamos a
adotar a norma dada exatamente pela série dos módulos dos termos das
seqüencias.

Os vetores E_n = (0, ..., 0, 1/2^n, 0, ...) (isto é, com todas as
coordenadas nulas exceto a n-ésima, que é 1/2^n) estão em F. A sequëncia
dada por S_n = E_1 + ... + E_n tem termos em F, no entanto, ela converge
para S = (1/2, 1/4, 1/8, ...) em V (a série |1/2| + |1/4| + ... converge!),
mas S não está em F. Logo, F não é fechado.

Outra coisa que importa é que o corpo base K do espaço tem que ser completo
para que F seja fechado se a dimensão de F sobre K é finita: por exemplo,
tome K = Q (racionais) e considere V = R (reais), F = Q. Q é um subespaço de
R de dimensão 1 sobre o corpo Q, mas não é fechado...

[]s,
Daniel

Bruno Lima (bbslima@yahoo.com.br) escreveu:
>
>No livro do Elon Analise 2 . cap1. Tem um problema: (*)Seja F subspaco
vetorial de R^n , mostre que F é fechado. As provas que vi todas usam o fato
do ambiente ter dim finita, ie, tome uma base...
>Eu nao sei nada de Analise Funcional , mas "parece"(intuiçao) que isso
tambem vale com dimensao infinita.
>Alguem ai saberia um contra-exemplo em dimensao infnita ou uma prova do
fato (*) que nao use base ou coisas equivalentes, quero dizer uma prova
mais "topológica"
>
>Valeu.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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