Re: [obm-l] Convergencia pontual

[Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira <gugu@xxxxxxx>]

   Caro Tertuliano,
   Da' para provar que f é contínua num conjunto denso. Mais do que isso, f tem
que ser contínua num conjunto residual, i.e., que contém uma interseção 
enumerável de abertos densos em [0,1] (lembremos do teorema de Baire: toda 
interseção enumerável de abertos densos (em R ou num intervalo, entre muitas 
outras situações) é densa). Para isso, basta mostrar que para todo n natural o 
conjunto F_n dos x  em [0,1] tais que a oscilaçao de f no ponto x, definida por 
w(f,x)=lim(h->0)(sup(f|[x-h,x+h])-inf(f|[x-h,x+h])) e' >= 1/n é um fechado
(isto e' facil e eu deixo como exercício) de interior vazio (note que a
unico dos F_n é o conjunto dos pontos de descontinuidade de f). Para isso,   
se houver um intervalo (a,b) contido em F_n, definimos, para cada k inteiro,
X_k={x em (a,b) | k/4n<=f(x)<(k+1)/4n}. Pelo teorema de Baire, o fecho de
X_k deve ter interior não vazio para algum k, senão a união dos fechos dos
X_k seria uma união enumerável de fechados com interior vazio, e logo não
poderia conter (a,b). Suponha que o fecho de X_k contém (c,d), que está
contido em (a,b). Para todo x em X_k, como w(f,x)>=1/n, x pertence a A ou a
B, onde 
A={x| f(x)<(k+1)/4n e para todo h > 0 existe u em (x-h,x+h) com f(u)>(k+2)/4n}
e B={x| f(x)>=k/4n e para todo h > 0 existe u em (x-h,x+h) com f(u)<(k-1)/4n}.
Assim, o fecho de A ou o fecho de B tem interior não vazio em (c,d).
Suponhamos que o fecho de A contenha (s,t), que está contido em (c,d). Como
f_n tende a f pontualmente, e os f_n são contínuos, dado um intervalo
I=(z,w), com (k+1)/4n<=z<w<=(k+2)/4n, para todo h>0 existe N natural tal que
para todo n>=N existe um intervalo J contido em (x-h,x+h) com f_n(J)=I.
Fazendo I_1=((k+1)/4n,(3k+4)/12n) e I_2=((3k+5)/12n,(k+2)/4n), segue que,
para todo N natural, os conjuntos Y_N={y em (s,t)| existe n>=N t.q. f_n(y)
pertence a I_1} e Z_N={z em (s,t)| existe n>=N t.q. f_n(z) pertence a I_2}
são abertos e densos em (s,t), de modo que (de novo pelo Baire), a
interseção W dos Y_N e dos Z_N (para N natural) é densa (de fato residual)
em (s,t). Entretanto, dado w em W, o limite f(w) de f_n(w) deveria pertencer
simultaneamente ao fecho [(k+1)/4n,(3k+4)/12n] de I_1 e ao fecho
[(3k+5)/12n,(k+2)/4n] de I_2, mas isso é um absurdo, pois esses intervalos
não se intersectam.   
   Abraços,
            Gugu

>
>Olá para todos!!
>
>Um professor me propos a seguinte questao:
>
>Considere uma sequencia f_n:[0,1] em R, de funcoes
>continuas convergindo pontualmente para f:[0,1] em R.
>Mostrar que f é continua em muitos pontos do intervalo
>[0,1].
>(na realidade, desconfio q f seja continua em um
>conjunto denso no intervalo [0,1]).
>
>Grato por qualquer soluçao e/ou comentario.
>
>
>Obs.: o objetivo é mostrar q nao existe uma sequencia
>de funcoes continuas convergindo pontualmente para a
>funcao caracteristica dos irracionais, que é um
>exercicio do Elon. Como essa funcao caracteristica é
>descontinua nos  irracionais, mostrar o que foi
>proposto acima resolve o problema.     
>
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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