Re: [obm-l] Duvida

["Marcio Cohen" <marciocohen@xxxxxxxxxxxxxx>]

Oi Luiz!
Você trocou o sinal das desigualdades, essa solução está errada..
Segue uma solucao absurdamente feia (mas aparentemente correta) para o 
problema (desafio qualquer um a achar uma solução mais feia :))

Problema: a<=1^2,  a+b<=1^2+2^2,  a+b+c<=1^2+2^2+3^2, 
a+b+c+d<=1^2+2^2+3^2+4^2 =>
     sqrt(a)+sqrt(b)+sqrt(c)+sqrt(d)<=1+2+3+4

Solução:
   Para a,b,c fixos, ponha x = d e analise f(x) = 
sqrt(a)+sqrt(b)+sqrt(c)+sqrt(x), 0<=x<=30-a-b-c. Essa eh uma funcao 
crescente, e portanto seu máximo ocorre quando x = 30-a-b-c, i.e, 
a+b+c+d=30.
   Agora troque c por x. Para a,b fixados, voce tem 0<=x<=14-a-b, d=30-x-a-b 
e olhando para
     g(x) = sqrt(a)+sqrt(b)+sqrt(x)+sqrt(30-x-a-b),
     2g'(x) = 1/sqrt(x) -1/sqrt(30-x-a-b)
    Observe que g eh crescente de x=0 ateh x=15-(a+b)/2. Como a+b>0, 
14-(a+b) < 15-(a+b)/2 e portanto o máximo dentro da restrição ocorre quando 
x=14-(a+b), i.e, a+b+c=14 e portanto d = 16.
    Agora voce tem um novo problema.. Basta mostrar que
    a<=1^2,  a+b<=1^2+2^2, a+b+c<=1^2+2^2+3^2 => 
sqrt(a)+sqrt(b)+sqrt(c)<=1+2+3
    Pronto, é só repetir o raciocínio para concluir que c=9, b=4 e a=1 dão o 
valor máximo da soma pedida.

Obs: Essa demonstração não pode ser adaptada fielmente para uma versão desse 
problema com 5 letras. Ficam então duas perguntas: Qual o maior valor de n 
tal que a_1+...+a_k <=1^2+...+k^2 para k=1,2,..,n sempre implica 
sqrt(a1)+...+sqrt(an)<=1+2+...+n?



----- Original Message ----- 
From: "Luiz Felippe medeiros de almeida" <luiz.felippe@gmail.com>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Thursday, April 21, 2005 10:46 PM
Subject: Re: [obm-l] Duvida


> Olá Fernado , acho q consegui fazer o problema que vc pediu. Lá vai:
> a<=1
> a+b<=5  ==> b<=5-a ==> b<=4 ==> sqrt(b)<=2
> a+b+c<=14 ==> c<= a+b ==> c<= 14-4-1 ==>sqrt(c)<=3
> a+b+c+d<=30 ==> d<=30-a-b-c==> d<=30-1-4-9 => sqrt(d)<=4
> Logo somando todas as equações temos :
>   sqrt(a) + sqrt(b) + sqrt(c) + sqrt(d) <=10
>  Abraço
> Luiz Felippe Medeiros
>
> On 4/21/05, Fernando <goianinho_@terra.com.br> wrote:
>>
>> a <= 1
>> a+b <= 5
>> a+b+c <= 14
>> a+b+c+d <= 30
>> Prove: sqrt(a)+sqrt(b)+sqrt(c)+sqrt(d) <= 10
>>
>> Desde ja agradeço
>> []'s
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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