[obm-l] Probabilidade (Gnedenko)

["claudio.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Um ponto está em AB, chamemos de P, outro em BC, chamemos de Q.

As linhas de interesse são AP , PQ e QC. Qual a probabilidade de podermos formar um triangulo com essas três linhas. Lembrando que o comprimento de AB é a e o comprimento de BC é b.

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Suponhamos que ABC = t  (0 < t < Pi)

|AP| = a-x, |QC| = b-y ==> |PQ| = raiz(x^2 + y^2 - 2xycos(t))

 

Precisamos ter:

0 < x < a     (1)

0 < y < b     (2)

(a-x) + (b-y) > raiz(x^2 + y^2 - 2xycos(t))    (*)

|(a-x) - (b-y)| < raiz(x^2 + y^2 - 2xycos(t))   (**)

 

(*) ==>

a^2 - 2ax + x^2 + b^2 - 2by + y^2 + 2(a-x)(b-y) >

x^2 + y^2 - 2xycos(t) ==>

2(1 + cos(t))xy - 2(a + b)(x + y) + (a + b)^2 > 0    (3)

 

(**) ==>

a^2 - 2ax + x^2 + b^2 - 2by + y^2 - 2(a-x)(b-y) <

x^2 + y^2 - 2xycos(t) ==>

2(1 - cos(t))xy + 2(a - b)(x - y) - (a - b)^2 > 0    (4)

 

Agora é só calcular a área da região delimitada pelas inequações (1) - (4) e dividir por a*b.

 

Por exemplo, se t = pi/2  e  a = b, teremos:

0 < x < a

0 < y < a

xy - (x + y) + 2a^2 > 0.

xy > 0

 

Na terceira equação, se fizermos x = u + 2a  e  y = v + 2a, teremos:

(u + 2a)(v + 2a) - 2a(u + v + 4a) + 2a^2 > 0 ==>

uv - 2a^2 > 0

 

E, portanto:

-2a < u < -a

-2a < v < -a

uv > 2a^2

 

E a área desejada será igual a 2a^2*(1 - log(2)).

Logo, a probabilidade desejada será P = 2*(1 - log(2)) ~ 0,6137.

 

[]s,

Claudio.