[obm-l] Re: [obm-l] Provadores automáticos de Teorema

["Ronaldo Luiz Alonso" <ronaldo.luiz.alonso@xxxxxxxxxx>]

Chicão escreveu:

>Todo matematico que se preze possui, nem que seja um
>pouquinho, um desejo de saber mais que os outros :p...

    Assim como todo atleta.   Mas até onde nosso
cérebro consegue armazenar coisas?  Li num livro de neurosciência
um cara que armazenava pi com 30.000 casas decimais.
 Ele usava um truque que era dividir pi em
blocos de 10 dígitos e blocos de
10 dígitos em blocos de 10 dígitos e por aí vai.

     Do ponto de vista humano, todavia, isso pode gerar crises:
Não é agradável perder. Muito pelo contrário  (hormônios
de estresse em excesso destróem neurônios do hipocampo).
                        Ganhar por outro lado estimula
os centros de prazer do cérebro e libera endorfinas e catecolaminas
que ajudam a pensar melhor (nos deixa mais "espertos").
                                Diria jocosamente que Galois se
"inteligenciava" às custas do "emburrecimento" de seus companheiros.

         Embora pareça um exagero, um estudo antropológico
mostrou que macacos dominadores
tinham neurônios com mais ramificações que macacos dominados.

>Acredito que mostrar a veracidade ou a falsidade pode
>ser uma definiçao de demonstraçao.Sabe o que Godel
>mostrou em termos práticos??Que existem proposiçoes no
 >sistema formal(ele mostrou uma, a famosa
>autoreferencia, mas pode haver outras,desde que ele
>contenha aritmetica de peano)que podem ser provadas
>verdadeiras e falsas...já imaginou o provador de
>teorema ora mostrando que a afirmativa era falsa ora
>que a proposiçao é verdadeira???

       Neste caso isso significaria, em termos práticos,
 que o conjunto de axiomas utilizados
é inconsitente, pois na matemática não pode haver
contradição.  Teríamos que buscar um conjunto de
axiomas consistente.

      Mesmo assim  não conseguiríamos provar
a consistência deste conjunto, pelo teorema de Göedel,
que você citou.
>Pois é ....sabe o que
>Turing mostrou em termos praticos???Que nao existe
>algoritmo geral que identifique se uma dada proposiçao
>é inconsistente ou nao...(Diz-se que tal problema é
>INDECIDIVEL)e por reduçao, nao existe algoritmo que
>identifique todas as proposiçoes inconsistentes do
>sistema de axiomas ...


    O PROCEDIMENTO existe, porém ele NÃO PÁRA (problema
da parada da máquina de Turing), daí ele não é um ALGORITMO
geral para provar inconsistência.  De fato não existe, pelo teorema
de Turing, tal ALGORITMO:

   O exemplo abaixo mostra isso:

--------------------------------------------
Situação 1:

-Passo 1:
     A única forma de saber se o conjunto de
axiomas é inconsistente
seria então derivar *todos* os teoremas daquele conjunto
de axiomas e ver se um dos teoremas aparece ora como
verdadeiro e ora como falso.

- Passo 2:
Se ocorrer incosistência então trocamos
um axioma (se pudermos) e colocamos outro e repetimos o passo 1 até
que o conjunto de axiomas seja consistente.

             Comentário:        Esse é o famoso "procedimento
dos macacos".  Seria como colocar um monte de macacos
sentados em frente a máquinas de escrever e pedir que
eles digitassem a enciclopédia britânica.


Situação 2:
            Supondo que o algoritmo acima parou,
chegamos aqui com um conjunto de axiomas consistente.
Mas pelo teorema da incompletude de Göedel, ainda
haveriam proposições que não seriam nem verdadeiras
nem falsas neste conjunto.   Daí poderíamos colocar mais
um axioma para torná-la verdadeira (ou falsa). Para
saber isso voltamos à Situação 1 passo 1 com esse novo
conjunto (leia novamente Situação 1 passo 1).
------------------------------------
Conclusão: Isso não para.


     Notamos que Göedel mostrou que não
adianta colocar mais axiomas ou trocar axiomas:
Sempre continuariam existindo proposições que não são
nem verdadeiras nem falsas.

       Além é claro de não sabermos
se o axioma adicionado tornou o conjunto de axiomas
incosistente. Nem o computador o saberia.

     Notamos também que um axioma pode ser independente
dos outros.  Isso daria surgimento a novos ramos da matemática
(como novas geometrias).


    A implicação filosófica de tudo isso é
sempre existe expansão do conhecimento humano
e apenas nós humanos podemos saber o que é plausível
acrescentar em termos axiomáticos.

O computador não pode fazer isso, pois demoraria
séculos, mas a mente humana sempre poderia.

>Será??E isso nao era em essencia o que Hilbert pensava
>tambem??

       Sim.  Foi exatamente isso o que Göedel tomou como base para
suas provas metamatemáticas usando a lógica.

>Algoritmo é algoritmo nao ha surpresas, da mesma forma
>que alguem domina o algoritmo da multiplicaçao sem
>saber a sua essencia ela pode dominar matematicamente
>um assunto, sabendo os algoritmos empregados.....

   Claro. O computador domina o algoritmo da multiplicação
sem saber sua essência.  O que eu quiz dizer é que há uma
grande probabilidade de um humano se "robotizar" quando
o assunto é matemática avançada.

>Principios sao principios....:)
>Sei não...e a logica??Nao tem um filosofo grego ai que
>diz que os conceitos abstratos estao na nossa mente???

      Parece que sim.  E qual a razão disso?  Recentemente
escrevi um paper mostrando como a geometria do cérebro
era consistente com o mundo físico e auto-consistente.
     Daí a matemática seria um mero reflexo do pensamento
analítico.


>Matematica envolve o coraçao tambem :)

       Taí algo interessante.  Francis Crick dizia que
a evolução é mais inteligente que nós.  Então apesar
de muitos considerarem que a emoção é burra ela
parece ter componentes inteligentes, por outro lado.

[]s a todos.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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