Re: [obm-l] Sistemas Dinâmicos

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] Sistemas Dinâmicos

Nao entendi muito bem como voce pode apertar SIMULTANEAMENTE as teclas sen e cos da calculadora e obter algum resultado que nao seja "Error".

Interpretando o que voce quis dizer duma forma que me parece razoavel, eu vejo tres casos:
1) Se voce soh apertar sen, a sequencia converge pra zero.

2) Se voce soh apertar cos, a sequencia converge pra a tal que a = cos(a).

3) Se voce apertar alternadamente sen e cos, voce obterah uma sequencia com duas subsequencias convergentes intercaladas, uma das quais converge para b = sen(cos(b)) e a outra para c = cos(sen(c)). Nesse caso, voce pode trata-las como sequencias independentes, uma formada pelos termos de ordem impar e a outra pelos termos de ordem par da sequencia original.

O primeiro caso eh o mais facil, pois (a_n) eh claramente monotona e limitada. Logo, converge para a tal que a = sen(a) <==> a = 0.

Uma demonstracao dos casos 2 e 3 pode ser baseada no seguinte teorema:
Sejam I um intervalo e f:I -> R uma funcao diferenciavel no interior de I.
Se existe uma constante real k tal que, para todo x em int(I), |f'(x)| <= k < 1, entao 
a sequencia (a_n) dada por a_n = f(a_(n-1)) converge para um limite a tal que a = f(a), qualquer que seja o valor de a_0 pertencente a I.

Pra provar o teorema (um exercicio que vale a pena), use o TVM e a desigualdade triangular. Voce vai manipular e somar desigualdades, somar uma PG (razao k) e concluir que a sequencia eh de Cauchy e, portanto, convergente. A continuidade de f garante que a = f(a).
 
Em todos os casos, tome I = [-1,1] e aplique o lema a partir do segundo termo da sequencia (que pertence necessariamente a este intervalo).
Pro segundo caso, use f(x) = cos(x) e pro terceiro, f(x) = sen(cos(x)) e g(x) = cos(sen(x)).

[]s,
Claudio.

on 09.04.05 21:33, Ronaldo Luiz Alonso at ronaldo.luiz.alonso@bol.com.br wrote:

>     Este problema me foi proposto quando estava no
> colegial.  Hoje sei como resolver, mas na época era
> enigmático.  De qualquer maneira
> costuma aparecer em olimpíadas e vale 
> a pena lançá-lo nesta lista
> para as pessoas tomarem ciência dele.
>  
>         --------------------------
>       Uma pessoa digita um número qualquer na calculadora
> e em seguida aperta simultâneamente as teclas sen
> e cos sem parar.  
>      a) A sequência converge?
>       b) Qual número teremos no final?
>    --------------------
>  
> PS: faça essa experiência em seu computador. :)  
> []s a todos.