[obm-l] Quadrado Mágico

["claudio.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Acho que sei como demonstrar que L_i (1<=i<=n), C_j (1<=j<=n-1), T e S são funcionais lineares L.I.

 

Suponhamos que existam escalres a_i (1<=i<=n), b_j (1<=j<=n), c e d tais que o funcional linear:

F = SOMA(1...n) a_i*L_i + SOMA(1...n-1) b_j*C_j + c*T + d*S

seja identicamente nulo.

 

Seja A(i,j) a matriz cujo coeficiente (i,j) é 1 e todos os demais são 0.

 

F(A(1,n)) = 0 ==> a_1 + d = 0

F(A(n,n)) = 0 ==> a_n + c = 0

F(A(k,n)) = 0 para 2 <= k <= n-1 ==>  a_k = 0.

 

Ou seja, já podemos escrever:

F = -d*L_1 - c*L_n + SOMA(1..n-1) b_j*C_j + c*T + d*S.

 

F(A(1,1)) = 0 ==> -d + b_1 + c = 0

F(A(2,1)) = 0 ==> b_1 = 0 ==> c = d

F(A(k+1,k)) = 0 para 2 <= k <= n-2 ==> b_k = 0

F(A(n,n-1)) = 0 ==> -c + b_(n-1) = 0

 

Assim:

F = c*(-L_1 - L_n + C_(n-1) + T + S).

 

Finalmente, F(A(2,2)) = 0 ==> c = 0.

 

Logo, a_i = b_j = c = d = 0 e, portanto, os 2n+1 funcionais acima são L.I. e, portanto, o espaço dos quadrados mágicos nxn tem dimensão n^2 - (2n+1) = n^2 - 2n - 1.

 

[]s,

Claudio.