Re: [obm-l] 1^2 + 2^2 + ... + n^2

[Bruno Lima <bbslima@xxxxxxxxxxxx>]

Outra solucao que é bem manjada é 

1^2 = (1+0)^2 = 1^2 +2*1*0+0^2
      (1+1)^2 = 1^2 +2*1*1+1^2
         .
         .
         .      
      (1+n)^2 = 1^2 +2*1*n+n^2 

Dai vc soma todas as equacoes e chega no resultado

--- "claudio.buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
wrote:
> Ontem alguém perguntou aqui na lista como se
> demonstrava a fórmula da soma dos quadrados dos
> primeiros n inteiros positivos.
> 
> Eu diria que 99% das pessoas usaria indução, o que
> além de ser mecânico e sacal, não ilustra o que
> realmente ocorre no problema e, o que é pior, se a
> fórmula não for conhecida (ou seja, se o problema
> for "deduza a fórmula da soma dos quadrados dos n
> primeiros inteiros positivos") vai ser difícil
> adivinhar qual é ela usando apenas indução.
> Naturalmente, uma vez que você tenha "adivinhado"
> uma fórmula, possivelmente olhando casos
> particulares, você pode usar indução para confirmar
> seu palpite.
> 
> Eu sempre sou favorável a uma demonstração
> combinatória, onde contamos o número de elementos de
> algum conjunto de duas formas distintas.
> 
> No caso, 1^2 + 2^2 + ... + n^2 é o número de
> elementos de que conjunto?
> 
> Por exemplo, considere todos os ternos ordenados
> (a,b,c) de elementos do conjunto {1,2,...,n,n+1}
> tais que a > b e a > c.
> 
> É claro (ou deveria ser pra quem participa dessa
> lista) que se a = 1, o número de tais ternos é zero,
> se a = 2, o número é 1*1 = 1, se a = 3, o número é
> 2*2 = 4. Em geral, se a = k+1, então teremos k
> possibilidades para b (b pode ser 1, 2, ... ou k) e
> k para c, de modo que teremos k^2 ternos nas
> condições do enunciado.
> 
> Assim, fazendo a variar de 1 a n+1, obteremos o
> número de ternos nas condições do enunciado: 0^2 +
> 1^2 + 2^2 + ... + n^2, ou seja, justamente a soma
> desejada.
> 
> Agora, um terno nas condições do enunciado só pode
> ser de três tipos:
> (a,b,c) com a > b > c;
> (a,b,c) com a > c > b;
> (a,b,c) com a > b = c.
> 
> O número de ternos de cada um dos dois primeiros
> tipos é igual a:
> Binom(n+1,3)  (por que?)
> 
> O número de ternos do terceiro tipo é Binom(n+1,2) 
> (por que?).
> 
> Logo, o número total de ternos nas condições do
> enunciado é:
> 2*Binom(n+1,3) + Binom(n+1,2) =
> 2*(n+1)*n*(n-1)/6 + (n+1)*n/2 =
> n*(n+1)*((n-1)/3 + 1/2) =
> n*(n+1)*(2n+1)/6.
> 
> Ou seja, 1^2 + 2^2 + ... + n^2 = n*(n+1)*(2n+1)/6.
> 
> []s,
> Claudio.
> 


	
	
		
Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. 
Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================