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Re:[obm-l] sobre serie de Taylor
Oi, Niski:
A expansão de Taylor no caso é de apenas uma variável - h:
p(x,y;h) = p(x,y;0) + p'(x,y;0)*h + O(h^2) (***)
onde p'(x,y;0) é a derivada de p(x,y;h) em relação a h calculada em h = 0.
A função é:
p(x,y;h) = a1*f(x,y) + a2*f(x + p1*h,y + p2*h*f(x,y))
De modo que:
p(x,y;0) = a1*f(x,y) + a2*f(x,y) = (a1 + a2)*f(x,y).
Acho que a sua dificuldade foi calcular a derivada de p(x,y;h) em relação a h.
Nesse caso, é necessário usar a regra da cadeia:
F'(u(h),v(h)) = dF(u(h),v(h))/dh =
F_u(u(h),v(h))*u'(h) + F_v(u(h),v(h))*v'(h).
onde F_u e F_v são as derivadas de F em relação ao primeiro e segundo argumentos, respectivamente.
No nosso caso:
p'(x,y;h) = a2*p1*f_x(x + p1*h,y + p2*h*f(x,y)) +
+ a2*p2*f(x,y)*f_y(x + p1*h,y + p2*h*f(x,y))
onde:
f_x e f_y são as derivadas parciais de f em relação ao primeiro e segundo argumentos, respectivamente.
Fazendo h = 0, obtemos:
p'(x,y;0) = a2*p1*f_x(x,y) + a2*p2*f(x,y)*f_y(x,y) =
a2*(p1*f_x(x,y) + p2*f(x,y)*f_y(x,y))
Agora é só substituir em (***) acima:
p(x,y;h) =
(a1 + a2)*f(x,y) + a2*(p1*f_x(x,y) + p2*f(x,y)*f_y(x,y))*h + O(h^2).
[]s,
Claudio.
| De: |
owner-obm-l@mat.puc-rio.br |
| Para: |
obm-l@mat.puc-rio.br |
| Data: |
Mon, 28 Mar 2005 17:58:21 -0300 |
| Assunto: |
[obm-l] sobre serie de Taylor |
> Ola pessoal. Fiquei em duvida aqui em uma passagem onde foi usada a
> serie de Taylor.
>
> Notacao:
> 1) a[n] lê-se "a índice n"
> 2) vou usar * para indicar multiplicacao.
> 3) f[x](x,y) lê-se "derivada em relacao a variavel x no ponto (x,y)"
>
> Define-se p(x,y;h) := a[1]*f(x,y)+a[2]*f(x + p[1]*h, y + p[2]*hf(x,y))
>
> E ele diz que a expansao de Taylor é
> p(x,y;h) = (a[1] + a[2])*f(x,y) + a[2]*h*(p[1]*f[x](x,y) +
> p[2]*f[y](x,y)*f(x,y)) + O(h^2)
>
> Gostaria que algum membro da lista por favor elucidasse esta expansão,
> talvez deixando claro alguma passagem que o autor pulou.
>
> Estou tambem disponibilizando , no URL abaixo, a passagem escaneada do
> livro (Bulirsch, Stoer) para eventuais duvidas na notação.
>
> http://www.niski.com/passagem.gif
>
>
> Desde já muito obrigado.
>
> Niski
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================
>