Re: [obm-l] ideais maximais

[Bernardo Freitas Paulo da Costa <bernardofpc@xxxxxxxxx>]

Bom, você tem que provar que não existe I contido em C([0,1]) tal que
J esteja contido em I, e todas as inclusões sejam próprias (ou seja,
um conjunto estritamente maior do que aquele que ele contém).

Tome então um ideal I, estritamente maior do que J. Assim, existe um
elemento deste anel que não está em J, ou seja, uma função g: [0,1] ->
R tal que g(1/2) != 0.
Seja então g(1/2) = a; a função h(x) = g(x) - a está em J.

Para provar que J é maximal, agora basta provar que I = C([0,1]).
Ora, é claro que, como é um ideal e contém g, J, temos que I contém o
ideal gerado por (g, J) =  { f = ag + bj / a, b pertencem a C([0,1]) e
j pertence a J}.
Agora vamos provar que este ideal é tudo! Seja f em C([0,1]) - J.
(Não precisamos fazer para J, já que claramente I contém J)
Queremos escrever f na forma ag + bj. Para termos alguma chance de
conseguir isso, temos que fazer com que ag(1/2) + bj(1/2) = f(1/2).
Ora, j(1/2) = 0, logo ag(1/2) = f(1/2), e portanto a(1/2) = f(1/2) /
g(1/2). Bom, sejamos bastante otimistas: faça a(x) = a(1/2) = f(1/2) /
g(1/2) (função constante!!) e veja que o que sobra é (f - ag)(1/2) =
f(1/2) - a(1/2)g(1/2) = 0, logo é uma função que pertence a J. Assim,
podemos fazer b(x) = 1 para todo x e obtemos finalmente j = f - ag em
J, logo I = C([0,1]) e portanto J é maximal.

Acho que é isso.
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa


On Fri, 18 Mar 2005 17:25:18 -0300 (ART), Lista OBM
<obm_lista@yahoo.com.br> wrote:
> Gostaria de uma ajuda no problema abaixo:
> 
> Seja C([0,1]) o anel da funções contínuas em [0,1],
> com as operações (f + g)(x) = f(x) + g(x) e [f.g](x) =
> f(x).g(x), para todas f,g em C([0,1]). Seja J o
> conjunto de todas as funções f em C([0,1]) tais que
> f(1/2) = 0. Prove que J é um ideal maximal.
> 
> grato desde já, éder.
> 
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