Re: [obm-l] Problema sobre valor minimo

[Marcio M Rocha <ddcristo@xxxxxxxxxx>]

Valeu, Claudio. Em primeiro lugar, eu esqueci de colocar que x, y e z 
são reais positivos por hipótese.
Eu havia feito o seguinte:
xyz(x+ y + z) = 1 <==> xz(xy + y^2 + yz) = 1 (I)
(x + y)(y + z) = xz + xy + y^2 + yz
De (I) vem que xy + y^2 + yz = 1/xz. Sendo assim, o segundo membro de 
(II) pode ser escrito como xz + 1/xz, que, pela desigualdade das médias, 
é >= 2. O que me deu dor de cabeça foi o fato dessa questão ter caído 
numa prova respeitável e o gabarito indicar 2/3 como resposta. Como você 
chegou ao mesmo que eu por outro caminho, penso que o gabarito está furado.
 
Obrigado de novo.

Márcio.

Claudio Buffara wrote:

>Supondo que x, y e z sao reais positivos, teremos:
>xyz(x + y + z) = 1 ==>
>y^2 + (x+z)y - 1/(xz) = 0 ==>
>y^2 + (x+z)y + xz - (1/(xz) + xz) = 0 ==>
>y^2 + (x+z)y + xz = 1/(xz) + xz ==>
>(x + y)(y + z) = 1/(xz) + xz >= 2 quaisquer que sejam x e z positivos, com
>igualdade sss xz = 1 ==>
>(x + y)(y + z) >= 2.
>
>O minimo de 2 eh atingido, por exemplo, com x = z = 1 e y = raiz(2) - 1.
>
>[]s,
>Claudio.
>
>
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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