Re: [obm-l] Racional ou Irracional???

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

OK. Falha minha.

No mais, pra quem quiser, aqui estah uma demonstracao do teorema de
Lindemann, a que voce se referiu na msg anterior:
http://www.math.sc.edu/~filaseta/gradcourses/Math785/Math785Notes7.pdf

Alias, estas notas de aula sobre numeros irracionais e transcendentes sao
bem interessantes (pelo menos as partes que eu consegui entender),
especialmente pra quem nao tem o livro do Niven. Nelas voce tambem pode
encontrar a demonstracao de que a sequencia das partes fracionarias de n*a
(n inteiro e a irracional) sao uniformemente distribuidas em [0,1], o que
estende o resultado jah discutido aqui na lista de que ela eh densa nesse
intervalo.

[]s,
Claudio.

on 04.03.05 10:11, Nicolau C. Saldanha at nicolau@mat.puc-rio.br wrote:

> On Thu, Mar 03, 2005 at 12:41:00PM -0300, Claudio Buffara wrote:
>>> Corolário do corolário:
>>> Se x é racional, x diferente de 0, então cos(x) é irracional.
>>> Se x é racional, x diferente de 1, então arccos(x) é irracional.
>>> 
>> Tem algumas excecoes, tais como r = 0, 1/2, -1/2, 1 e -1.
>> Nesses casos, arccos(r) e arcsen(r) sao multiplos racionais de Pi, mas acho
>> que essas sao as unicos excecoes.
> 
> Acho que não estamos nos entendendo.
> 
> Se r = 1/2 então arccos(r) é de fato múltiplo racional de Pi
> mas não era disso que eu estava falando na segunda parte da mensagem
> nem foi esta a pergunta original.
> 
> O que eu disse é que arccos(r) é irracional para r racional,
> r diferente de 1, o que é correto exatamente como eu enunciei,
> sem outras exceções além de r=1. Por exemplo, arccos(0) = pi/2
> é irracional pois pi é irracional.
> 
> Se a pergunta for para quais racionais r temos que arccos(r)
> é um múltiplo racional de pi então a resposta é que isto ocorre
> exatamente para os valores que você listou: 0, +-1 e +-1/2.
> A prova disso é bem simples. Se x é racional então
> 2cos(pi x) = exp(i pi x) + exp(-i pi x) é um inteiro algébrico.
> Assim se cos(pi x) for racional, 2 cos(pi x) deve ser racional
> e inteiro algébrico, logo inteiro. Como -2 <= 2 cos(pi x) <= 2
> devemos ter cos(x) = 0, +-1 ou +-1/2.
> 
> []s, N.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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