Re: [obm-l] Denovo o problema da Elipse...

[Rogerio Ponce <rogerioponce-obm@xxxxxxxxxxxx>]

Ola Bruno,

 

considere que a elipse em questao tenha o semi-eixo menor igual a 1 (s.p.d.g.), e semi-eixo maior igual a "a" , e que seu centro "O" esteja na origem de um sistema cartesiano de eixos x e y , de forma que sua equacao e' x^2/a^2 + y^2 = 1 .
 

Trace uma vertical pelo ponto P, e seja Q sua intersecao com o eixo x.
Trace horizontais pelos pontos P e T' , e sejam R e S suas respectivas intersecoes com o eixo y.
Seja U a intersecao da reta TT' com o eixo y.

Considere o plano que se obtem ao girarmos o plano xy em torno do eixo y, do angulo arccos(1/a) . Repare que a projecao da elipse sobre este plano e' uma circunferencia de raio 1. Paralelamente, obtemos triangulos semelhantes pela projecao dos triangulos URP, UST' e OPQ sobre este mesmo plano.
Assim, podemos escrever as 2 relacoes

[ (xQ - xO)/a ] / [ yP - yQ ]   =  [ yU - yS ] / [ (xT' - xS)/a ]

[ (xQ - xO)/a ] / [ yP - yQ ]   =  [ yU - yR ] / [ (xP - xR)/a ]

ou seja,
 
[ xP / a ]  / yP = [ yU - yT' ] / 1

[ xP / a ]  / yP = [ yU - yP ] / [ xP / a ]

Mas, como P pertence 'a elipse,  xP ^2 / a^2 + yP ^2 = 1
Dessa forma, da 2a. equacao obtemos yU = 1/yP

 

Como o foco F esta' em x = -sqrt( a^2 - 1 ) , o comprimento do segmento UF vale sqrt ( a^2 - 1 + yU^2 )

 

Entretanto o comprimento de UT' vale

 sqrt( xT'^2 +  (yU-yT')^2 )  = sqrt( a^2 + 1/yP^2 - 1 ) = sqrt( a^2 + yU^2 - 1)

 

Portanto, como UF e UT' tem o mesmo comprimento, o ponto F pertence 'a circunferencia com diametro TT' . Logo o angulo TFT'  e' reto.

 

[]'s

Rogerio Ponce.

 

 

 

 

 

Bruno Bonagura <bbonagura@uol.com.br> wrote:

> Estou mandando novamente um problema que mandei para a lista há um tempo
> atrás. Imagino que os senhores tiveram dificuldade em acessar a imagem pois
> o servidor do uol não permite acesso direto a arquivos de imagem.
>
> Está aqui o link do enunciado.
> http://cienciasexatas.sites.uol.com.br/elipse.htm
>
> Gostaria de uma demonstração com uso de geometria plana. Através de
> analítica eu ja consegui a prova mas gostaria muito de ter uma demonstração
> através de conceitos da geometria euclidiana.
>
> Agradeço respostas!
>
> Bruno Bonagura
> http://cienciasexatas.blog.uol.com.br

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