Re: [obm-l] Roleta

["Fabio Dias Moreira" <fabio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Guilherme said:
> Olá, pessoal!
>
> Recebi um pedido, há alguns dias, de um amigo que mora na Bélgica. Ele
> pediu que eu calculasse para ele, em N rodadas de uma roleta (37
> números, de 0 a 36), qual a probabilidade de pelo menos um número dos 37
> não aparecer.

Eu vou resolver não o seu problema, mas o seguinte problema: em quantas
sequências do conjunto {0, 1, ..., 36}^N algum dos números de 0 a 36 não
figura? Supondo que todos os números da roleta são equiprováveis, e se R é
a resposta desse problema, basta achar R/37^N.

Quantas seqüencias existem tais que nenhum dos números k_1, k_2, ..., k_p
figura na seqüencia? Claramente, a resposta é (37-p)^N.

Se S_k é o conjunto das seqüências que não contém k, temos que

#(S_0 união S_1 união ... união S_36) =
= soma(p = 1..37) soma(0 <= k_1 < k_2 < ... < k_p <= 36) (-1)^(p+1)
#(S_k_1 inter S_k_2 inter ... inter S_k_p) =
= soma(p = 1..37) soma(0 <= k_1 < k_2 < ... < k_p <= 36) (-1)^(p+1) (37-p)^N

pelo Princípio da Inclusão-Exclusão. Como o somatório interno não depende
dos k_p, a soma acima é claramente igual a

soma(p = 1..37) (-1)^(p+1) C(37;p) (37-p)^N.

Como o somatório externo tem limites superior e inferior fixos, a fórmula
encontrada é fechada.

(Eu fiz um programa em Python para testar a fórmula, e ele concorda com
todos os casos iniciais que você colocou no seu email.)

[]s,

-- 
Fábio Dias Moreira


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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