Re: [obm-l] sexta feira 13...

[Bernardo Freitas Paulo da Costa <bernardofpc@xxxxxxxxx>]

Oi.

Eu acho que é puramente (bom, nem tanto) braçal: considere todos os
dias da semana em que pode começar Janeiro (ou qualquer outro mês, mas
começar por Janeiro é mais fácil). Um mês tem sexta-feira 13 <=> Ele
começa no domingo (prove isso.. ou seja, veja um calendário com um mês
com sexta-feira treze!). Daí, você tem que ver em que dia da semana
começam os meses em função de Janeiro. Se você sabe aritmética módulo
7, isso quer dizer mais ou menos o seguinte: (Se você tiver alguma
dúvida quanto a sistemas de restos, e operações módulo 7, fale que eu
tento explicar com mais detalhes.)

Suponha que Janeiro começa no Domingo (Chame isso de "1", pois daí
segunda é "2", terça é "3", e por aí vai, até sábado, que eu vou
chamar de "0", para os números ficarem pequenos). Ora, Janeiro tem 31
dias, logo dia 1 de Fevereiro é "32 de Janeiro" o que dá resto "4", ou
seja, é uma quarta-feira (o que mais nos interessam são os restos, e
não o dia da semana...). Vou "esquecer" que eu conheço anos bissextos.
Daí, como tem 28 dias (oba, é múltiplo de 7!!), Março também começa
dia "4". Como tem 31 dias (=3 módulo 7), temos que Abril começa dia
"0". Abril tem 30 dias, logo Maio começa dia "30" = "2"; Junho começa
dia "2+3" = "5", Julho começa dia "5+2" = "0", Agosto dia "0+3" = 3,
Setembro "3+3" = "6", Outubro "6+2" = "1", Novembro = "1+3" = "4" e
finalmente Dezembro "4+2" = "6".

Temos então a seguinte distribuição dos inícios:
1; 4; 4; 0; 2; 5; 0; 3; 6; 1; 4; 6.

Se você olhar os inícios a partir de Maio até Novembro, temos um
"Sistema completo de restos módulo 7". Ou seja, se você mudar o dia em
que começa Maio (por exemplo, para "5", é só somar 5 módulo 7 a cada
um dos dias. Mas como o sistema é completo, há um mês em que vai dar
"1", e portanto este mês será de sexta-feira 13. Ou seja, todo ano vai
ter um mês com sexta-feira 13.

Agora, eu devolvo outra pergunta: E se você souber que tem anos
bissextos, quais anos terão mais de um mês bissexto? (Note que isso
muda um pouco o problema, mas bissextos não mudam a minha solução pois
eles alteram apenas Jan-Fev, dados Mar-Dez, e como em Maio-Novembro
sempre há um bissexto - prove que é só um, ou seja, não é tanto tempo
para azar... - temos a solução.)

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa


On Wed, 23 Feb 2005 08:27:49 -0300, carlos gomes <cgmat@digizap.com.br> wrote:
>  
> Pessoal, 
> E verdade que todo ano tem pelo menos uma sexta-feira 13? Se for verdade
> como verifico isto?. Um abraço a todos Cgomes.
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de anti-virus e 
>  acredita-se estar livre de perigo.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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