Re: [obm-l] Exercício sobre Números Primos

[Bruno Bruno <brunobbruno@xxxxxxxxx>]

acho que consegui, mas nao tenho muita certeza.

Seja P a raiz n-esima de "a". E seja K o valor da expressão. Assim P e
K são primos.

a = P^n  => a^n = P^(n^2)

K = [P^(n^2) + b]/ [P^(n^2) - b]       Multiplicando por P^(n^2) - b

P^(n^2) + b = K*P^(n^2) - K*b        Isolando b e P

b*(K+1) = P^(n^2) * (K-1)               Dividindo por K-1

P^(n^2) = b*(K+1)/(K-1)

Como b*(K+1)/(K-1) é inteiro, ou (K-1)| b ou (K-1)|(K+1)

Se (K-1)|(K+1), K+1 / K-1 = Z (algum inteiro)
Sendo K-1 = J , temos que J+2 / J = Z = 1 + 2/J
ou seja, K-1 divide 2  => K=2 ou K=3 (ambos sao primos, logo validos)

Se K= 2,  P^(n^2) = 3b
Se K= 3,  P^(n^2) = 2b
Logo K = 3

P^(n^2) = 2b   =>  P = 2
como b é quadrado perfeito, 2^(n^2) = 2x^2
2^(n^2 -1) = x^2   => x é potencia de 2
Se x = 2, n = raiz3 (nao serve)
Se x = 4, n = raiz5 (nao serve)
Se x = 8, n = raiz7 (nao serve)
Se x = 16, n = raiz 9 = 3.

Assim, n = 3.

Mas se ao invés de dividir K+1 , K-1 dividir b, teremos:
K-1| b  =>   K-1| x
Se queremos n<3  (pois já provamos que n=3 é valido), temos que x<16.
K-1 é um fator primo menor que 16, logo K-1 E {2,3,5,7,11,13)
ou seja, K E {3,4,6,8,12,14} => menos K possivel é 3, exatamente como
o utilizado na primeira hipotese. Logo, n = 3.

Só conferindo:
P=2 n=3 b= 256 a = 8
8^3 + 256 / 8^3 - 256 = 768/256 = 3 (primo)

Ps.: aproveitando o e-mail, qual programa tipo word se usa pra
escrever caracteres matematicos? eu nao manjo muito de computadores.
=P

On Sun, 13 Feb 2005 17:00:49 -0300 (ART), Alan Pellejero
<mathhawk2003@yahoo.com.br> wrote:
> Corrigindo: o livro é russo, não alemão....desculpe...
> Segue o enunciado!
> 
> --- Alan Pellejero <mathhawk2003@yahoo.com.br>
> escreveu:
> > Olá amigos!
> > Um de meus alunos trouxe-me esse exercício que,
> > segundo ele, foi retirado de um livro alemão.
> > O exercicío, segundo ele, é para preparação às
> > Olimpíadas Russas de "Ensino Médio".
> > Gostaria que me ajudassem, pois não estou
> > conseguindo
> > resolver!
> >
> --------------------------------------------------------
> >
> > Seja "a" um número pertencente ao conjuntos dos
> > números reais tal que a > 1 e a "raiz n-ésima de a"
> > seja um número primo.
> > Pede-se determinar o menor valor de "n" para que a
> > expressão:
> > (a^n + b) / (a^n - b)
> >
> > seja também um número primo, sabendo-se que "b" é um
> > quadrado perfeito.
> >
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> > Um grande abraço!
> > Alan Pellejero
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