Re: [obm-l] Desigualdade envolvendo a seq. das medias aritmeticas

["Jair Donadelli Junior" <jair@xxxxxxxxxxx>]

Oi. Da forma como vc tentou, deve dar para sair sim. Mas me parece mais
simples irmos por um outro caminho, para o qual basta conhecermos as
proriedades dos limites superior e inferior de sequencias.

Vamos mostrar que lim inf x_n <=  lim inf s_n. A prova de que  lim sup s_n
<=  lim sup x_n eh inteiramente analoga.

Se lim inf x_n = -oo (no sistema dos reais expandidos), entao temos
automaticamente que lim inf x_n <= lim inf s_n. Suponhamos agora que lim inf
x_n seja um numero real. Para todo real p < lim inf x_n, as propriedades do
limite inferior de sequencias implicam que exista um inteiro positivo k tal
que x_n >p para todo n>k. Sendo a = minimo {x_1,....x_k}, para n>k temos
entao que s_n = (x_1...+x_k + x_(k+1) ...+ x_n)/n > (k*a + (n-k)*p)/n.
Mantendo-se k e p fixos e definindo-se y_n =  (k*a + (n-k)*p)/n, temos que
y_n -> p e que s_n > y_n para n>k  Das propriedades do limite inferior,
segue-se entao que lim inf s_n >= lim inf y_n = lim y_n = p.  Disto
concluimos que  inf s_n >= p para todo p < lim inf x_n. Para que isto seja
possivel, temos necessariamente que lim inf s_n >= lim inf x_n.
Temos assim as desigualdades lim inf x_n <= lim inf s_n <= lim sup s_n <=
lim sup x_n, das quais segue-se imediatamente que, se x_n convergir para
algum x do sistema dos reais expandidos, entao s_n tambem converge para x (a
reciproca nao eh verdadeira).
Se x_n for uma sequencia de numeros reais positivos e g_n for a seq. de suas
medias geometricas, entao valem desigualdades similares, bastando 
substituir s_n por g_n. Alias, isto tambem vale para a sequencia das medias
harmonicas (supondo-se os x_n positivos). O caso da seq. das med.
geometricas nos permite, por exemplo, concluir de imediato que (n!)^(1/n) ->
oo (hah uma outra prova baseada na formula de Stirling, que nao eh tao
imediata mas eh bem mais bonita)
Um outro exercicio interessante envolvendo limites superiores e inferiores
de sequencias eh mostrar que, se x_n eh uma seq. de vetores nao nulos de
R^m, entao lim inf |x_(n+1)|/|x_n| <= lim inf |(x_n)|^(1/n) <= lim sup
|(x_n)|^(1/n) <=  lim sup |x_(n+1)|/|x_n| .(Eh claro que basta provar para o
caso em que x_n eh uma seq. de numeros reais positivos). Isto nos mostra
que, se lim (|x_(n+1)|/|x_n|) existir no sistema dos reais expandidos, entao
 lim (|(x_n)|^(1/n)) tambem existe e iguala-se ao primeiro (a reciproca nao
eh verdaeira).
Artur

meiro.--------- Mensagem Original --------
De: obm-l@mat.puc-rio.br
Para: "obm-l@mat.puc-rio.br" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Assunto: [obm-l] Desigualdade envolvendo a seq. das medias aritmeticas
Data: 13/11/04 14:05

Oi pessoal. Eu estava resolvendo alguns exercicios
emvolvendo a sequencia das medias aritmeticas de uma
seq. de numeros reais. Consegui provar, sem maiores
dificuldades, que se x_n -> x entao s_n -> x, sendo
s_n a seq. das medias aritm. de x_n. Este resultado eh
ate intuitivo, pois fazendo-se n crescer conseguimos
uma infinidade de x_n's tao proximos de x quanto
desejarmos, o que "puxa" a media para x. Mas eu nao
tou conseguindo provar uma desigualdade que jah foi
ateh comentada nesta lista, lim inf x_n <= lim inf s_n
<= lim sup s_n <= lim sup x_n. (Eh claro que a desig.
do meio vale para qualquer seq. de numeros reais.) No
livro em que vi este exercicio nao tinha nenhuma dica
para provar isto. Tentei usar a definicao de lim sup
s_n = Inf (n=1, oo) [Sup k=n, oo) x_n] mas nao deu
certo. Para todo n, s_n <= maximo (x_1,....x_n), mas
como os supremos na definicao de lim sup sao tomados
para a frente, nao consegui concluir.
Abracos
Ana



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