Re: [obm-l] Numeros no chapeu

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

Acho que dei tempo suficiente para quem quisesse pensar sozinho.
Segue abaixo a solucão completa para o problema original dos chapéus.
Primeiro o enunciado:

> > On Thu, Feb 03, 2005 at 03:04:22AM -0500, Faelccmm@aol.com wrote:
> > > There are 3 persons (let's call them A,B and C) in a room. Each of them
> > > wears a hat with a positive integer number marked on the hat. Each of the
> > > three persons can see the number on the two other hats, but cannot see
> > > the number on his/her own hat.
> > > 
> > > We tell them that one of the number is the sum of the two other numbers
> > > but they don't know which one is the sum of the two others.
> > > 
> > > We ask A: Do you know what is your number?
> > > A looks at B and C, thinks and answers: I don't know.
> > > 
> > > Note here that the three persons are very intelligent and if they say
> > > that they don't know, it is because there are no possibility for them to
> > > deduce their number.
> > > 
> > > We then ask B: Do you know what is your number?
> > > B looks at A and C, thinks and answers: I don't know.
> > > 
> > > We then ask C: Do you know what is your number?
> > > C looks at A and B, thinks and answers: Idon't know.
> > > 
> > > A thinks a little and say suddenly:
> > > Wait a minute! Now I know my number! I have 50.
> > > 
> > > What numbers have B and C respectively?
 
> > Os números são 50, 20, 30.

> Obrigado ! Bem interessante ! Fiquei agora curioso em saber o porquê da 
> solução 20, 30, 50 ser única ?! 

Podemos supor que os três números são 2u, |s+1|u, |s-1|u,
onde s e u são racionais, u > 0. O valor de u não é muito importante,
o importante aqui é s. Observe que os casos em que o maior número
é A, B, C correspondem respectivamente a -1<s<1, s>1 e s<-1.
No início do jogo, ninguém sabe o valor correto de s, só que s é diferente
de 1 e -1. O jogador A fica em dúvida entre s (o valor correto) e 1/s,
B fica em dúvida entre s e 2-s e C fica em dúvida entre s e -2-s.

Se s = 0 (ou seja, se os números forem 2u, u, u) então A descobre seu número
na primeira jogada. Assim, depois de A passar a vez na primeira jogada
fica sendo conhecimento comum entre A, B, C que s é diferente de 0.
Na segunda jogada, B descobre seu número se e somente se 2-s já tiver
sido eliminado, ou seja, para s = 2 (2u,3u,u; A teria falado se fosse 2u,u,u)
e para s = 3 (2u,4u,2u). Assim na segunda jogada são eliminados 2 e 3.
Na terceira jogada C descobre seu número se e somente se -2-s já tiver sido
eliminado, ou seja, para s = -2, -3, -4 e -5. Na quarta jogada A descobre
seu número se e somente se 1/s tiver sido eliminado na segunda ou terceira
rodada (se tivesse sido eliminado antes, ele (A) teria falado antes).
Ou seja, A responde na quarta jogada se e somente se s tem um dos seguintes
valores: 1/2, 1/3, -1/2, -1/3, -1/4, -1/5. Estes correspondem respectivamente
a (4,3,1), (3,2,1), (4,1,3), (3,1,2), (8,3,5), (5,2,3). Como 50 não é
múltiplo de 4, 3 ou 8, a única possibilidade é a última.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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