RES: [obm-l] Limite lateral

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Meu editor de email esta com algum problema. Eu escrevi monotonicamente e
saiu monoticamente varias vezes. Nao sou tao iletrado assim!!
Soh para falar algo que preste: se f for MONOTONICAMENTE crescente, o
raciocinio eh similar. Ou, entao, aplicamos a conclusao anterior a -f.
Artur

-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de Artur Costa Steiner
Enviada em: Monday, January 31, 2005 7:40 PM
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: RES: [obm-l] Limite lateral


Suponhamos que f seja monoticamente decrescente em X. As condicoes dadas
implicam a existencia de algum h >a tal que f seja limitada em (a,h) inter
X. Se f fosse ilimitada em toda vizinhanca aa direita de a, entao para todo
M>0 e todo h>a existiria algum w em (a,h) inter X tal que f(w) > M. Nesta
condicoes, se y_n eh uma sequencia qualquer em X que convirja para a pela
direita, entao para algum n teremos a <= y_n < w. Em virtude do carater
monoticamente decrescente de f, temos entao que M < f(w) <= f(y_n). Com M eh
arbitrario, concluimos que, para toda sequencia como y_n, (f(y_n)eh
ilimitada. Mas como, por hipotese, existe (x_n) que eh convergente, logo
limitada,  concluimos que f h limitada em (a,h) inter X para algum h>a.
Considerando-se que f eh monoticamente decrescente em X e limitada em (a,h)
inter X, segue-se automaticamente que f  apresenta limite em a+ e que e lim
(x->a+) f(x) = supremo {f(x) | x estah em (a,h) inter X}.  Considerando
agora a existencia deste limite e que lim f(x_n)=L, temos automaticamente
que lim (x->a+) f(x) = L.  
Artur


-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de Tertuliano Carneiro
Enviada em: Monday, January 31, 2005 4:49 PM
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Limite lateral


Olá para todos! Alguem poderia me ajudar neste?

Sejam f de X em R monotona e a um ponto de acumulacao
à direita de X. Se existir uma sequencia de pontos x_n
em X com x_n > a, lim(x_n)=a e lim f(x_n)=L entao lim
f(x)=L se x tende à a pela direita.

Grato!

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