RES: RES: [obm-l] Algarismo inicial de 2^n

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Eh verdadade. Depois que eu tinha mandado a a mensagem, vi que podia
acontecer este caso.
Eu depois analisei um pouco e cheguei aa seguinte conclusao:
Sejam m>=2 e n>=2 numeros inteiros. Entao, log(m)/log(n) eh racional se, e
somente se, (1) as decomposicoes de m e de n em fatores primos tiverem
exatamente os mesmos fatores e (2) sendo p_i, i=1,...N os fatores primos de
m e de n e r_i e s_i os respectivos expoentes inteiros, entao (r_i)/(s_i) =
c, sendo c uma constante.  Neste caso, log(m)/log(n) = c.
Uma consequencia eh que, se a a decomposicao de n tiver pelo menos um fator
primo com expoente 1, entao log(m)/log(n) eh racional se, e somente se, m
for uma potencia inteira de n.
Artur

 

-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de Nicolau C. Saldanha
Enviada em: Saturday, January 29, 2005 11:08 AM
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: RES: [obm-l] Algarismo inicial de 2^n


On Fri, Jan 28, 2005 at 05:04:04PM -0200, Artur Costa Steiner wrote:
> Podemos generalizar esta conclusao, certo? Para todo inteiro positivo k
que
> nao seja uma potencia inteira de 10, dada qualquer sequencia de
algarismos,
> existe um inteiro positivo n  tal que k^n comeca com esta sequencia.
> Decorrencia do fato de que log(k)/log(10) eh irracional.
> Podemos ateh generalizar mais. Se estivermos numa base de numeracao b >1,
> entao, para todo inteiro positivo k que nao seja uma potencia inteira de
b,
> dada qualquer sequencia de alagarismos menores que b, existe um inteiro
> positivo n tal que, quando expresso na base b, k^n comecae com a dada
> sequencia. Decorencia do fato de que log(k)/log(b) eh irracional.
> Artur 

Quase tudo certo. Mas se a base b for ela propria uma potencia
entao precisamos excluir tambem as potencias racionais de b.
Por exemplo, se b = 8 e k = 4, as potencias de k na base b
todas comecam com 1, 2 ou 4.

Abracos, Nicolau
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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