[obm-l] sigma-alagebra gerada por conjuntos compactos

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Eu pesquisei este assunto. A generalizacao que podemos fazer eh a seguinte:
Se X eh um espaco de Haursdorff sigma-compacto, entao a colecao de seus
conjuntos compactos gera a sigma-algebra de Borel. Um espaco topolologico eh
sigma-compacto se for a uniao de uma colecao enumeravel de conjuntos
compactos (o prefixo "sigma", de modo geral, significa que um conjunto eh
dado por uma uniao enumeravel de conjuntos que satisfacam a uma dada
cracteristica; o prefexo delta, para interseccoes enumeraveis.) Isto implica
automaticamente que todo subconjunto fechado de X seja sigma-compacto.

Espacos metricos separaveis e localmente compactos sao, conforme vimos,
sigma-compactos. E como todo espaco metrico e Haursdorff , a proposicao vale
em tais espacos. 
Mas a afirmacao geral que foi copiada de um site por um colega parece estar
incorreta. Lah apenas dizia que a proposicao se aplicava a  espacos
topologicos (nao dizia metricos) separaveis e localmente compactos. Em
espacos nao metricos, ainda que de Hausdorff, separabilidade nao implica a
existencia de uma base topologica enumeravel. Assim, parece-me que, em
espacos nao metricos, separabilidade e compacticidade local nao implicam
sigma-compacticidade.
 
Uma consequencia imediata eh que na reta real, nos R^n e nos complexos, a
sigma-algebra gerada pelos compactos eh a sigma-algebra de Borel.
Eu nao sabia disso. Parabens ao colega que levantou o assunto e aumentou o
nivel geral de conhecimento.
Abracos
Artur. 
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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