Re: [obm-l] algebra linear - funcionais lineares

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] algebra linear - funcionais lineares

on 13.01.05 18:33, Lista OBM at obm_lista@yahoo.com.br wrote:
>  
> 2) Seja V um K-espaço vetorial qualquer e B = {v _ j} uma base de V (i em um conjunto de índices J qualquer). Para cada j em J, defina um funcional linear f_j em V* t.q. f_ j(v_i) = delta_ij (i.e., 1 se i = j e 0 se i<>0). Prove que {f_ j}, j em J é uma base de V* se, e só se, J é finito. (Obs.: A volta tem qq livro de alg. linear.)    
>  
> grato desde já, éder. 
>  
>
> IDA (por contrapositiva):
>
> Suponha que J eh infinito.
>
> Seja F: V -> K um funcional linear tal que: 
> F(v) = 1 para cada vetor v da base B  (*)
>
> Suponhamos que existam: 
> um subconjunto finito I de J (digamos, com n elementos - s.p.d.g. podemos supor que I = {1,2,...,n});
> e 
> uma-nupla (a_1, a_2, ..., a_n) de elementos de K,
> tais que: 
> F = SOMA(1<=i<=n) a_i*f_i    (**).
>  
> Seja r um elemento de J - I.
>
> Por (*), temos que F(v_r) = 1.
>
> Entretanto, para cada i em I, f_i(v_r) = 0, de modo que, por (**), F(v_r) = 0.
>
> Essa contradicao mostra que nenhuma combinacao linear finita dos f_j eh igual a F.
> Em outras palavras, {f_j | j pertence a J} nao eh uma base de V*.
>
> []s,
> Claudio.