Re: [obm-l] somas de Newton [era: trigonometria]

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 27.01.05 12:03, Luís Lopes at qed_texte@hotmail.com wrote:

> Sauda,c~oes,
> 
> Oi Claudio,
> 
> Gostei da sua solução.
> 
> Há um resultado conhecido como somas de Newton
> que diz o seguinte: sejam
> f(z) = z^n + c_1 z^{n-1} + ... + c_{n-1} z + c_n
> e as raízes z_1, z_2, ... z_n .
> 
> As somas das potências S_k = sum_{p=1}^n z_p^k
> são chamadas de somas de N. de f(z). As primeiras são
> dadas por
> 
> S_0 = n = 1 + 1 + ... + 1
> S_1 = - c_1 = z_1 + z_2 + ... z_n
> S_2 = c_1^2 - 2c_2 = z_1^2 + z_2^2 + ... z_n^2
> S_3 = 3(c_1c_2 - c_3) - c_1^3 = z_1^3 + z_2^3 + ... z_n^3
> S_4 = ....
> 
> No seu caso, q(z) = z^3 - 4z^2 - 4z + 8  e queremos S_4 .
> Aqui S_0=3,  S_1=4,  S_2=24,  S_3=88 e
> S_4 = - c_1S_3 - c_2S_2 - c_3S_1 = 416.
> 
> Estas somas saem da recorrência abaixo:
> 
> S_k + c_1 S_{k-1} +  c_2 S_{k-2} + ... c_{k-1} S_1 + k c_k = 0
> para k = 1,2,.....,n.
> 
> S_k + c_1 S_{k-1} +  c_2 S_{k-2} + ... c_n S_{p-n} = 0
> para k = n+1, n+2, ....
> 
> Tirei isso de um livro do Herbert Wilf. Ele não menciona mas
> acho que já vi resultados para k = -1,-2,....
> Assim, S_{-1} = 1/z_1 + .... + 1/z_n.
> 
> Alguém conhece as expressões de S_k para k negativo?
> 
Oi, Luis:

Eh soh achar o polinomio monico cujas raizes sao os reciprocos das raizes do
polinomio original e aplicar as recorrencias acima.

[]s,
Claudio.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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