RES: [obm-l] Media e Extrema Razao (Div. Aurea)

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Corigindo o erro de digitacao, x = a + (b-a)*[(raiz(5) -1)/2] 
Artur

-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de Artur Costa Steiner
Enviada em: Monday, January 24, 2005 11:51 AM
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: RES: [obm-l] Media e Extrema Razao (Div. Aurea)


A maneira mais simples de fazermos isto talvez seja considerar inicialmente
um segmento de reta de comprimento unitario. Se x>0 eh a distacia do ponto
da divisao aurea ao extremo esquerdo do segmento, entao x = (1-x)/x, de modo
que x^2 + x -1 =0. Como queremos uma raiz positiva, Bhaskara nos diz que x =
(raiz(5) -1)/2. 
Se os pontos extremos do segmento tem abcissas a e b, entao x = a + (b-a)*[1
+ (raiz(5) -1)/2] 
Artur



-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de Daniel S. Braz
Enviada em: Monday, January 24, 2005 11:03 AM
Para: OBM-L
Assunto: [obm-l] Media e Extrema Razao (Div. Aurea)


Pessoal,

Alguem poderia me ajudar nesse aqui..eh bem bobo..mas estou chegando a
uma expressao horrivel..quero saber se existe um jeito simples (e
bonito) de fazer...

Dizemos que um segmento AB esta dividido em media e extrema razao
(divisao aurea) qdo temos:

d(A,X) / d(A,B) = d(X,B) / d(A,X) ; onde d(X,Y) = distancia de X a Y

Considerando que o ponto X divide o segmento AB em media e extrema
razao, dee a coordenada x do ponto X em funcao das coordenadas de A e
B [Geometria Analitica e Algebra Linear - Elon L. Lima - IMPA]

Eu fiz assim...

(x - a) / (b - a) = (b - x) / (x - a)
(x - a)^2 = (b - x)(b - a)
x^2 - 2ax + a^2 = b^2 - ab - bx + ax
x^2 - 3ax + bx + a^2 - b^2 + ab = 0
x^2 + (3a + b)x + (a^2 - b^2 + ab) = 0
x = [-(3a + b) +- sqrt((3a + b)^2 - 4(a^2 - b^2 + ab))] / 2

Obrigado!

[]s
daniel

-- 
"A noção de infinito, de que é preciso se fazer um mistério em
Matemática, resume-se no seguinte princípio: depois de cada número
inteiro existe sempre um outro." (J. Tannery)

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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