Re: [obm-l] probleminha

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 12.01.05 16:09, Bruno Bruno at brunobbruno@gmail.com wrote:

> Seja B um inteiro maior que 10 tal que cada um dos seus dígitos
> pertence ao conjunto {1, 3, 7, 9}. Demonstre que B tem fator primo
> maior ou igual a 11.
> 
B eh obviamente impar.
Alem disso, B nao pode ser multiplo de 5, pois estes terminam apenas em 0 ou
5.
Suponhamos, portanto, que B = 3^a*7^b.

Agora, pra terminar, precisamos provar o seguinte:
1) Cada potencia de 3 e de 7 termina com os algarismos 1, 3, 7 ou 9;
2) O algarismos das dezenas de cada uma dessas potencias eh par;
3) O algarismo das dezenas do produto de uma potencia de 3 por uma potencia
de 7 eh par.

(1) eh facil - basta olhar as 4 (= Phi(10)) primeiras potencias mod 10.
(2) e (3) tambem sao faceis - basta observar que, na tabela de multiplicacao
a seguir, os algarismos das dezenas sao todos pares:
* |  1   3   7   9
--+----------------
1 | 01  03  07  09
3 | 03  09  21  27
7 | 07  21  49  63
9 | 09  27  63  81

Conclusao: B nao pode ser da forma 3^a*7^b, o que implica que B deve ter
algum fator primo maior do que 7.

[]s,
Claudio.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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