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Re: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA !

To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Subject: Re: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA !
From: "saulo bastos" <saulonpb@xxxxxxxxxxx>
Date: Sat, 22 Jan 2005 20:14:49 +0000
In-Reply-To: <009501c4fe1e$ff41e8c0$4aaffea9@computador>
Reply-To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Sender: owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Ola pessoal, eu fiz a 18 assim,
da mesma maneira que a 13 vc pode encontrar uma relação entre Rn, Rn+1, 
Rn-1:
substuindo n-1 e n+1 na equação original, vc encontra:

Rn+1=3Rn+2raiz2(a^n-b^n)/2
e
Rn-1=3Rn-2raiz2(a^n-b^n)/2
Desta forma:

Rn+1=6Rn-Rn-1
Calculando-se sucessivamente para vários valores de n=0,1,2,3,4,5,6,...
encontramos:

R0=1
R1=3
R2=17
R3=99
R4=577
R5=3363
R6=19601
A partir daqui os valores do algarismo das unidades começam a se repetir em 
ciclos de 6, ou seja
UnidadeR6=unidadeR12=unidade18, etc
sabendo que
12345=6*2057+3
em n=12342, o algarismo das unidades será 1, portanto;
n=12343 ; unidade=3
n=12344 ; unidade=7
e finalmente
n=12345 ; unidade=9

Um grande abraço, saulo

>From: "Kellem :-) 100% SeJ" <xxuxxinha@ig.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: Re: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA !
>Date: Wed, 19 Jan 2005 09:59:13 -0200
>
>mas n usei essa identidade pra resolver, usei akela q o menino aí usou e dá
>certinho, e meu prof disse q é a tal igualdade de sophie-germain, hehehhe.
>
>kellem
>----- Original Message -----
>From: "Machado" <vmachado@gmail.com>
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Sent: Monday, January 17, 2005 5:21 PM
>Subject: Re: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA !
>
>
> > aquela identidade : (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac+bd)^2 + (ad - bc)^2
> > chama-se "Identidade de Bramagupta-Lagrange" .
> >
> > a resposta do primeiro exercicio é 13
> >
> >
> > On Tue, 18 Jan 2005 14:55:42 -0300, Anthony Lee Worley
> > <alsworley@bol.com.br> wrote:
> > > Quanto ao problema 1, fiz assim: combinação de 10, 5 a 5 dá=252. Como 
>as
> > > chances de um time vencer é igual ao do outro 252 dividido por 2 dá 
>126
> > > ----- Original Message -----
> > > From: "Machado" <vmachado@gmail.com>
> > > To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> > > Sent: Thursday, January 13, 2005 7:09 AM
> > > Subject: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA !
> > >
> > > > Olá amigos,  estou precisando de ajuda nos seguintes problemas.
> > > > Se alguém puder  ajudar, agradeço.
> > > >
> > > > 1) Um grupo de 10 atletas é dividido em duas equipes , de 5 atletas
> > > > cada, para disputarem uma corrida rústica. O atleta que terminar a
> > > > corrida na n-ésima posição contribui com n pontos para a sua equipe. 
>A
> > > > equipe que tiver o menos número de pontos é a vencedora. Se não
> > > > existem empates entre os atletas , quantos são os possíveis escores
> > > > vencedores ?
> > > >
> > > > a)10 b)13 c)27 d)120 e)126
> > > >
> > > > *******
> > > >
> > > > 2) Os inteiros positivos a,b,c possuem respectivamente  2,3 e 5
> > > > algarismos , todos menores do que 9. Sabe-se que todos os algarismos
> > > > de c são distintos e que ab = c. Além disso, a adição de uma unidade 
>a
> > > > cada algarismo de a,b e c não altera a veracidade da equação.
> > > > O valor da soma a + b + c é ?
> > > >
> > > > *******
> > > >
> > > > 3)  A cada um dos vértices  de um cubo, é atribuído um dos números 
>+1
> > > > ou -1.A seguir, a cada face deste cubo, atribui-se o inteiro
> > > > resultante do produto dos quatro inteiros que estão nos vértices
> > > > desta face. Um valor possível para a soma destes 14 números é :
> > > >
> > > > a) 12 b)12 c)7 d)4 e)0
> > > >
> > > > *******
> > > >
> > > > 4) Quinze elefantes alinhados são tais que os seus pesos são 
>expressos
> > > > por números inteiros de quilogramas. Se a soma do peso de cada
> > > > elefante ( exceto o último ) com o dobro do peso do elefante à sua
> > > > direita, é exatamente 15 toneladas podemos afirmar que:
> > > >
> > > > a) existe um elefante que pesa o dobro do elefante à sua direita
> > > > b) existe um elefante que pesa 3 toneladas
> > > > c) existe um elefante que pesa 4 toneladas
> > > > d) existe um elefante que pesa 6 toneladas
> > > > e) todos os elefantes têm o mesmo peso
> > > >
> > > > *******
> > > >
> > > > 5) A soma dos algarismos do menor inteiro positivo cujo cubo termina
>em
> > > 888 é :
> > > >
> > > > a)10 b)12 c)14 d)16 e)18
> > > >
> > > > *******
> > > >
> > > > 6) Se xyz=1 então 1/1+x+xy + 1/1+y+yz  + 1/1+z+xz é igual a ?
> > > >
> > > > *******
> > > >
> > > > 7) Se 2^8 + 2^11 + 2^n é um quadrado perfeito  então o valor de "n" 
>:
> > > >
> > > > a)primo b)divisor de 6 c)múltiplo de 3 d)múltiplo de 5 e)ímpar
> > > >
> > > > OBS : É possível generalizar este problema ?
> > > >
> > > > *******
> > > >
> > > > 8) Se S=( 1+2^-1/32 )( 1+2^-1/16 )( 1+2^-1/8 )( 1+2^-1/4 )( 1+2^-1/2 
>)
> > > > então S é igual a :
> > > >
> > > > a) 1/2*[( 1 - 2^-1/32 )]^-1
> > > > b) ( 1 - 2^-1/32 )^-1
> > > > c)  1 - 2^-1/32
> > > > d) 1/2*(1 - 2^-1/32 )
> > > > e) 1/2
> > > >
> > > > *******
> > > >
> > > > 9) Demonstre que o produto de quatro números consecutivos somado a 
>uma
> > > > unidade é um quadrado perfeito. " (n*n+1*n+2*n+3) + 1 "
> > > >
> > > > *******
> > > >
> > > > 10) (x+y)^7 - x^7 -y^7 quando fatorada completamente em polinômios e
> > > > monômios com coeficientes inteiros possui um número de fatores igual
> > > > a:
> > > >
> > > > a) 7 b)6 c)5 d)4 e)3
> > > >
> > > > *******
> > > >
> > > > 11) Se 10^k é a maior potência de 10 que é um fator de 11^10 -1 ,
>então k
> > > vale ?
> > > >
> > > > *******
> > > >
> > > > 12) Se a,b,c são números reais tais que (bc - a^2)^-1 + (ca -b^2)^-1 
>+
> > > > (ab - c^2)^-1 = 0 então a(bc - a^2)^-2 + b(ca -b^2)^-2 + c(ab -
> > > > c^2)^-2 vale ?
> > > >
> > > > *******
> > > >
> > > > 13) Se F_n = [(1 + 5^1/2)/2]^n +  [(1 - 5^1/2)/2]^n para todos os
> > > > inteiros n >= 0, então, para todos os n>= 1, F_n+1 é igual a:
> > > >
> > > > a) F_n + F_n-1
> > > > b) F_n + 2*F_n-1
> > > > c) F_n + 3*F_n-1
> > > > d) F_n + 5^1/2*F_n-1
> > > > e) F_n + 5*F_n-1
> > > >
> > > > *******
> > > >
> > > > 14)  Um fator entre 1000 e 5000 do número 2^33 - 2^19 - 2^17 - 1 é :
> > > >
> > > > a) 1993 b) 1992 c) 1983 d) 1982 e) 1972
> > > >
> > > > *******
> > > >
> > > > 15) O valor de 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/2n -1 - 1/2n é :
> > > >
> > > > a) 1/n+1
> > > > b) 1/n + 1/n+1 + ... + 1/2n
> > > > c) 1/n+1 + 1/n+2 + ... + 1/2n
> > > > d) 1/n + 1/n+1 + ... + 1/2n+1
> > > > e) 1/2n
> > > >
> > > > *******
> > > >
> > > > 16) Sendo x + x^-1 =a, ao escrevermos x^13 + x^-13 como um polinômio
> > > > em "a" verificamos que a soma dos coeficientes deste polinômio vale 
>?
> > > >
> > > > *******
> > > >
> > > > 17) Se A = (19 + 3*33^1/2)^1/3 + (19 - 3*33^1/2)^1/3 + 1 e B = (17 +
> > > > 3*33^1/2)^1/3 + (17 + 3*33^1/2)^1/3 -1 , então o produto AB vale ?
> > > >
> > > > *******
> > > >
> > > > 18) Se R_n = 1/2*(a^n + b^n)  onde a=3+2*2^1/12 , b = 3-2*2^1/2  e n 
>=
> > > > 0,1,2,3,... . Se R_12345 é inteiro, seu algarismo das unidades é ?
> > > >
> > > > *******
> > > >
> > > > 19) O número [(10^4 + 324)(22^4 + 324)(34^4 + 324)(46^4 + 324)(58^4 
>+
> > > > 324)]/[(4^4 + 324)(16^4 + 324)(28^4 + 324)(40^4 + 324)(52^4 + 324)]
> > > > vale ?
> > > >
> > > > *******
> > > >
> > > > Desculpem-me pela imensa mensagem,
> > > > Agradeço desde já a todos ,
> > > > Muito obrigado,
> > > > Victor.
> > > >
> > > >
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> > > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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