Re: [obm-l] Re: Sequencias

[Bernardo Freitas Paulo da Costa <bernardofpc@xxxxxxxxx>]

Bom, sem usar um exemplo sofisticado como o do Arthur, um truque bem
legal para este tipo de problema é pensar racionalmente. Ou seja, tome
uma enumeração qualquer dos racionais do intervalo [0,1] = {x_1, x_2,
x_3, ...}. É claro que isto é uma seqüência, e o mais legal é que a
aderência é todo [0,1]. Pense porquê: um número real qualquer possui
vizinhanças arbitrariamente pequenas que contém infinitos números
racionais. Assim, em qualquer ponto da sequüência, como você só
retirou uma quantidade FINITA de termos, ainda restam infinitos,
portanto NENHUMA vizinhança destes números perdeu todos os INFINITOS
racionais que ela continha. Uma das aplicações é generalizar esta
demonstração (faça exatamente o mesmo) para espaços onde os racionais
sejam densos e enumeráveis (isso é para evitar maiores patologias,
tipo dimensão não-enumerável, coisas asssim), e é exatamente igual:
faça uma enumeração dos mesmos.


On Wed, 19 Jan 2005 10:25:55 -0200, Artur Costa Steiner
<artur@opendf.com.br> wrote:
> (1) - a sequencia |sen(n)| eh um exemplo. Eh a imagem atraves da funcao seno
> dos inteiros positivos. Como |sen| eh continua e periodica em R e seu
> periodo fundamental pi eh irracional, temos que o conjunto dos pontos de
> aderencia de |sen(n)| eh o conjunto das imagens de |sen|, ou seja, [0,1].
> Outro exemplo eh a sequencia frac(raiz(n)), onde frac eh a parte fracionaria
> de n. O Claudio demosnstrou isto hah cerca de um mes.
> 
> (2) - para n suficientemente grande, temos que b^(1/n) <= x_n^(1/n) <=
> [n^(1/n)]^k.  Se n ->oo , b^(1/n) -> 1 e n^(1/n) ->1. Logo, [n^(1/n)]^k ->1.
> Por confronto, concluimos que lim x_n =1.
> Artur
> 
> Ola para todos!
> 
> Alguem poderia me ajudar nesses?
> 
> 1) Achar uma sequencia que tenha o intervalo [0,1] como conjunto dos seus
> valores de aderencia.
> 
> 2) Se existem b nao nulo e k natural tq b <= x_n <= n^k para todo n
> suficientemente grande entao lim x_n^(1/n) =1.
> 
> Notacao: x_n é a sequencia x(n)
> <= é menor ou igual
> 
> Um abraco!
> 
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Bernardo Freitas Paulo da Costa

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