[obm-l] Re: [obm-l] raizes da derivada de um polnômio

[Artur Costa Steiner <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

A afirmacao eh verdadeira. Uma forma de vermos isto eh atraves do teorema de
Lucas, que eh equivalente a esta afirmacao. O teorema de Lucas diz que se
todas as raizes de P estiverem sobre um mesmo semi-plano aberto do plano
complexo, entao as raizes de P' estao neste mesmo semi-plano. Considerando
que o menor poligono convexo (incluindo a fronteira) que contem as raizes de
P eh a interseccao de todos os semi-planos abertos que as contem e que todos
este semi-planos contem as raizes de P', segue-se que estas ultimas estao no
citado poligono.

A demonstracao do teorema de Lucas tem em qualquer livro de analise
complexa. Se nao me engano (nao tenho um livro aqui), segue os seguintes
passos:
Se z_1, ...z_n (contando-se eventuais raizes multiplas) sao as raizes de um
plinomio P de grau n, entao, para todo z que nao seja raiz de P, podemos com
algebra simples verificar que P'(z)/P(z) = 1/(z-z_1) +...1/(z-z_n). Um 
semi-plano aberto nos compexos pode ser visto como {z | (Im((z-a)/b) <0}
sendo a
e b<>0 numeros complexos. Se as raizes de P estiverem todas neste
semi-plano e z nao estiver, entao, para cada k =1,..n, temos que (z- z/k)/b
= (z- a)/b - (z_k- a)/b, com igualdade preservada se tomarmos as partes
imaginarias das parcelas envolvidas.  Entao, Im((z- z/k)/b) >0, 
pois Im((z- a)/b) >=0 e Im((z- z/k)/b)<0. Como as partes imaginarias de um
complexo e de seu inverso tem sinais opstostas e nao forem nulas, temos que
Im(b/(z-z_k))<0. Logo, Im(b*P'(z)/P(z)) = Soma(k=1,n) Im(b/(z-z_k)) <0, de
modo que b*P'(z)/P(z)<>0. Como b<>0, concluimos que P'(z)<>0 e que z nao eh
raiz de P'. Assim, se z* for raiz de P', z* estah no mesmo semiplano aberto
das raizes de P (espero que nao tenha cometido nenhum erro - cheque em algum
livro).
Artur 



--------- Mensagem Original --------

Desculpem o cabeçalho da primeira mensagem, que não tinha nada a ver com o
asunto. Eu estava lendo uma mensagem sobre cardinalidade, aproveitei para
mandar a minha dali mesmo e esqueci de trocar o título.
Sandra


<br>Oi pessoal!<br><br>Gostaria de confirmar se a seguinte afirmacao é de
fato verdadeira: Se P eh um polinomio sobre corpo dos complexos, entao todas
as raizes de sua derivada P' estao no menor poligono convexo, incluindo sua
fronteira, que contem as raizes de P.<br><br>Se for verdade (eu acho que
realmente é), alguém poderia esquematizar a demonsntração ou indicar onde
posso encontrá-la?<br><br>Obrigada<br>sandra<br><br>__
br>

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