Re: [obm-l] Problemas em aberto (x^y > y^x)

[kleinad@xxxxxxxxxx]

>2) Determine o conjunto dos pares (x,y) de reais positivos tais que x^y >
>y^x.

Estou usando um pc horrível, fiz com um pouco de descuido, mas lá vai...

A idéia é determinar as raízes de f(x,y) = x^y - y^x, notando que isso gera
uma separação do primeiro quadrante, e determinando o sinal de f em cada uma
dessas regiões. Como x, y > 0, f é contínua e além disso podemos fazer y =
ax, com a = y/x. Então
x^y = y^x
<==> x^ax = (ax)^x
<==> ax*log(x) = x*[log(a) + log(x)]
<==> a*log(x) = log(a) + log(x)
<==> (a-1)*log(x) = log(a)

Se a = 1, temos a reta x = y como solução.

Para a <> 1, temos

(*) x = a^[1/(a-1)] ==> y = ax = a^[a/(a-1)]

Fazendo a = 1 + k e deixando k --> 0, segue que lim (k+1)^(1/k) = lim [(k +
1)^(1/k)]^(k+1) = e.

Assim, definindo o valor limite para a --> 1 o ponto x = y = e, temos uma
curva definida parametricamente pelas relações em (*). As retas x=1 e y=1
são assíntotas à curva; isso pode ser visto calculando os limites quando a --
> 0 e a --> +oo:

Para a -->0,

lim a^[1/(a-1)] = lim (1/a)^[1/(1-a)] = +oo ==> x --> + oo
lim a^[a/(a-1)] = ??? ==> y --> 1

Para a --> +oo,

lim a^[1/(a-1)] = lim (1/b)^[b/(1-b)] com b --> +oo = lim b^[b/(b-1)] = 1
==> x --> 1
lim a^[a/(a-1)] = lim a*a^[1/(a-1)] = + oo ==> y --> + oo

A curva tem um único sentido; quando a cresce o traçado da curva caminha da
direita pra esquerda; esta parte pode ser provada analisando-se as derivadas
de x(a) e y(a).

x'(a) = a^[1/(a-1)]*[a - 1 - a*log(a)]/[a*(a-1)^2] , y'(a) = a^[a/(a-1)]*[a -
 1 - log(a)]/[(a-1)^2].

Para mostrar que x'(a) é sempre negativa, basta analisar [a - 1 - a*log(a)],
cuja derivada é -log(a), que é positiva em 0 < a < 1 e negativa em a > 1.
Como -1/a (segunda derivada) é sempre negativa, a=1 é ponto de máximo. Como
lim a --> 1 de [a - 1 - a*log(a)] = 0, isso mostra que x'(a) não é nunca
positiva.

Para y'(a), basta olhar para [a - 1 - log(a)], cuja derivada é 1 - 1/a que
se anula em a = 1. Em 0 < a < 1 ela é negativa e em 1 < a é positiva. Como a
segunda derivada é 1/a^2 > 0, 1 é ponto de mínimo. Como lim a --> 1 de [a -
1 - log(a)] = 0, isso mostra que y'(a) nunca é negativa.

A curva intercepta a reta x = y no ponto (e, e), e a interseção tem de ser
única pelo que observou-se acima.

As duas curvas (sim, a outra curva é a reta x = y) dividem o primeiro
quadrante em 4 pedaços (traçar as curvas ajuda!). Como f é contínua, a cada
um dos 4 pedaços corresponde um sinal para f.

Basta pegar um ponto qualquer em cada um deles e verificar seu sinal para
determinar o sinal de todo o pedaço.

Existe no entanto uma simetria com relação à reta x = y; abaixo da reta é
como se examinássemos - f(x,y) em cima.

As duas regiões acima da reta x=y são:

A = { y > x >= e } U { 1 < x = a^[1/(a-1)] < e , y > ax }
B = { 0 < x < y <= e } U { 1 < x = a^[1/(a-1)] < e , 0< y < ax }

abaixo, temos
C = { 0 < y < x <= e } U { e < x = a^[1/(a-1)] , 0 < y < ax }
D = { e < x = a^[1/(a-1)] , ax < y < x }

A simetria é entre A e D, e entre B e C. Por essa razão, em cada região f
assume sinal oposto à região simétrica.

Tem-se que (3,4) está em A. Como f(3, 4) = 81 - 64 > 0, A é positiva. Isso
implica que D é negativa.

Ainda, (1,2) está em B. Como f(1,2) =  1 - 2 < 0, B é negativa ==> C é
positiva.

Portanto, x^y > y^x se (x,y) está em

A U C = { y > x >= e } U { 1<x = a^[1/(a-1)]<e , y > ax } U { 0 < y < x <=
e } U { e < x = a^[1/(a-1)] , 0 < y < ax }

Como a curva definida por (*) tem sentido único (quero dizer, há uma bijeção
entre os pontos da curva e os valores dos parâmetros através das equações) e
em vista dos limites quando a --> 0 e a --> +oo, segue que para todo x e
todo y maiores do que 1 existe um único a tal que x = a^[1/(a-1)] ou y = a^
[a/(a-1)], portanto as definições das regiões fazem sentido (calcular esse a
é outra história...)

[]s,
Daniel

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================