Re: [obm-l] Problemas em aberto (remate do 16)

[kleinad@xxxxxxxxxx]

>>16) Ache o menor inteiro positivo tal que se deslocarmos o seu algarismo
>>mais a esquerda para a posicao mais a direita (ou seja, das unidades)
>>obteremos um inteiro uma vez e meia maior do que o original.

>Seja k = a_n*10^n + a_(n-1)*10^(n-1) + ... + 1_a*10 + a_0, onde 0<=a_i<=9
>com a_n <> 0.
>

(...)

>
>Logo, n = 15 é o menor possível.
>
>Resta mostrar que para algum a_n tem-se k = 2*a_n*(10^(n+1) - 1)/17 um
>número com no máximo n casas decimais, ou seja, k <= 10^(n+1) - 1.
>
>Mas é imediato que k < 10^(n+1) - 1 para a_n = 1, o que mostra que o menor
>inteiro positivo satisfazendo a relação é 2*(10^(n+1) - 1)/17.

Na verdade existe um outro erro aí além do número n de casas em vez de
n+1.... É preciso mostrar que para algum a_n tem-se k = 2*a_n*(10^(n+1) -
1)/17, onde n = 15, um número com EXATAMENTE n + 1 casas decimais E CUJO
PRIMEIRO DÍGITO É DE FATO a_n.

Ou seja, exibir um a_n tal que valham as desigualdades

a_n*10^n<= k = 2*a_n*(10^(n+1) - 1)/17 <= (a_n + 1)*10^n - 1

Começando pela esquerda:

17*a_n*10^n <= 2_a_n*(10^(n+1) - 1)
<==> 17*10^n <= 20*10^n - 2
<==> 2 <= 3*10^n,

que vale sempre.

Para a desigualdade da direita, temos:

2*a_n*(10^(n+1) - 1) <= 17*(a_n + 1)*10^n - 17
<==> 20*a_n*10^n - 2*a_n <= 17*(a)n + 1)*10^n - 17
<==> 3*a_n*10^n + 17 <= 17*10^n + 2*a_n

Em particular, a_n = 1 satisfaz essa relação, e portanto é legítimo dar o
problema por concluído tomando-se k = 2*(10^16 - 1)/17, um número, de fato,
com exatamente 16 casas decimais e cujo dígito mais à esquerda é 1.

[]s,
Daniel

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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